Determinare il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} ((n+1)/n)^(n^\alpha)$
Il parametro $\alpha$ è un numero reale.
Il termine generale è banalmente definitivamente positivo.
Tuttavia, prima di addentrarmi nell'applicazione di qualunque criterio per le serie, ho controllato la condizione necessaria per la convergenza come segue.
Sia $a_n = ((n+1)/n)^(n^\alpha)$, allora si ha che $a_n = exp(n^(\alpha) log(1 + 1/n))$, dunque
$L = \lim_{n} a_n = exp(\lim_{n} n^(\alpha) log(1 + 1/n))$.
Affinché ci sia convergenza deve risultare che $L = 0$, ossia che l'esponenziale vada a zero.
Tuttavia, affinché ciò si verifichi deve risultare che $\lim_{n} n^(\alpha) log(1 + 1/n) = -\infty$, cosa assurda perchè la quantità $n^(\alpha) log(1 + 1/n)$ è definitivamente positiva $\forall \alpha$ reale.
Dunque la serie proposta diverge $\forall \alpha$ reale. E' un ragionamento corretto?
Il termine generale è banalmente definitivamente positivo.
Tuttavia, prima di addentrarmi nell'applicazione di qualunque criterio per le serie, ho controllato la condizione necessaria per la convergenza come segue.
Sia $a_n = ((n+1)/n)^(n^\alpha)$, allora si ha che $a_n = exp(n^(\alpha) log(1 + 1/n))$, dunque
$L = \lim_{n} a_n = exp(\lim_{n} n^(\alpha) log(1 + 1/n))$.
Affinché ci sia convergenza deve risultare che $L = 0$, ossia che l'esponenziale vada a zero.
Tuttavia, affinché ciò si verifichi deve risultare che $\lim_{n} n^(\alpha) log(1 + 1/n) = -\infty$, cosa assurda perchè la quantità $n^(\alpha) log(1 + 1/n)$ è definitivamente positiva $\forall \alpha$ reale.
Dunque la serie proposta diverge $\forall \alpha$ reale. E' un ragionamento corretto?
Risposte
Si, è corretto, si poteva anche fare più direttamente osservando che $a_n>1^(n^\alpha)=1$.
Grazie.
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