Determinare il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} {e - (1 + 1/n)^n}$
La serie è a termini positivi e la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta.
Come per il post sulla differenza di arcotangenti, eviterei di usare il criterio del rapporto asintotico che prevede l'uso, nuovamente, di De L'Hopital.
Un suggerimento?
Come per il post sulla differenza di arcotangenti, eviterei di usare il criterio del rapporto asintotico che prevede l'uso, nuovamente, di De L'Hopital.
Un suggerimento?
Risposte
Osserva che:
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e^{n \log\left(1+1/n\right)}$$
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e^{n \log\left(1+1/n\right)}$$
Col tuo suggerimento, avevo pensato così
$a_n = e - e^(n log(1 + 1/n)) = e(1 - e^(n log(1+1/n) - 1)) ~ e(1 - n log(1+1/n))$
Allora considero la serie
$\sum_{n = 1}^{\infty} {1 - n log(1+1/n)}$
il cui termine generale sviluppato in serie è $1/(2n) + o(1/n)$, che posso confrontare con la successione $1/n$, concludendo che la serie diverge.
Corretto?
$a_n = e - e^(n log(1 + 1/n)) = e(1 - e^(n log(1+1/n) - 1)) ~ e(1 - n log(1+1/n))$
Allora considero la serie
$\sum_{n = 1}^{\infty} {1 - n log(1+1/n)}$
il cui termine generale sviluppato in serie è $1/(2n) + o(1/n)$, che posso confrontare con la successione $1/n$, concludendo che la serie diverge.
Corretto?
Corretto!
Grazie.
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