Determinare il carattere della serie!
Sono un po' in crisi sulla ricerca del carattere di alcune serie e soprattutto sui criteri da usare!
Ad esempio questa:
\(\sum_{n=2}^\infty(\frac{2n+1}
{n-1})^{1/n} −2^{1/n}\)
So che se ho una somma posso spezzare le due serie in modo tale da poterle analizzare singolarmente, per \( -2^\frac{1}{n} \) forse direi che diverge perché il limite della successione all'infinito mi dá -1, per l'altra ho pensavo alla serie armonica ma quella é solo elevata alla \(n\) e non alla \( \frac{1}{n} \), pensavo di fare l'asintotico che mi darebbe \( 2^\frac{1}{n} \) cioè che mi dá come limite 1 che diverge, quindi la serie diverge.
Peró, se sommo i due risultati, che sono opposti tra loro, mi viene che il limite é zero e quindi tutta la serie converge.
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?
Ad esempio questa:
\(\sum_{n=2}^\infty(\frac{2n+1}
{n-1})^{1/n} −2^{1/n}\)
So che se ho una somma posso spezzare le due serie in modo tale da poterle analizzare singolarmente, per \( -2^\frac{1}{n} \) forse direi che diverge perché il limite della successione all'infinito mi dá -1, per l'altra ho pensavo alla serie armonica ma quella é solo elevata alla \(n\) e non alla \( \frac{1}{n} \), pensavo di fare l'asintotico che mi darebbe \( 2^\frac{1}{n} \) cioè che mi dá come limite 1 che diverge, quindi la serie diverge.
Peró, se sommo i due risultati, che sono opposti tra loro, mi viene che il limite é zero e quindi tutta la serie converge.
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?
Risposte
Consideriamo il termine generale della serie
\begin{align}
\left(\frac{2n+1}{n-1}\right)^{\frac{1}{n}}-2^{\frac{1}{n}}&=\exp\left[\frac{1}{n} \ln\left(\frac{2n+1}{n-1}\right) \right] -\exp\left[\frac{\ln 2}{n} \right] =\\
&=\exp\left[\frac{1}{n} \ln\left(\frac{2n+1}{n-1}\right) -\frac{\ln 2}{n} \right]-1=\\
&=\exp\left[\frac{1}{n} \ln\left(2+\frac{3}{ n-1}\right) - \frac{\ln 2}{n} \right]-1\\
&=\exp\left[\frac{1}{n}\left[\ln2+\ln\left(1+\frac{3}{ 2n-2}\right) \right]- \frac{\ln 2}{n} \right]-1=\\
&\stackrel{\bf(T)}{=}\exp\left[\frac{1}{n}\left[\ln2+\frac{3}{ 2n-2}-\frac{9}{ 2(2n-2)^2} \right]-\frac{\ln 2}{n} \right]-1\\
&=\exp\left[\frac{ \ln2}{n}+\frac{3}{ 2n(n-1)}-\frac{9}{ 8n(n-1)^2}-\frac{\ln 2}{n} \right]-1\\
&\sim \exp\left[ \frac{3}{ 2n(n-1)} \right]-1\\
&\sim \frac{3}{ 2n(n-1)}\sim \frac{3}{ 2n^2}\to\mbox {converge}
\end{align}
\begin{align}
\left(\frac{2n+1}{n-1}\right)^{\frac{1}{n}}-2^{\frac{1}{n}}&=\exp\left[\frac{1}{n} \ln\left(\frac{2n+1}{n-1}\right) \right] -\exp\left[\frac{\ln 2}{n} \right] =\\
&=\exp\left[\frac{1}{n} \ln\left(\frac{2n+1}{n-1}\right) -\frac{\ln 2}{n} \right]-1=\\
&=\exp\left[\frac{1}{n} \ln\left(2+\frac{3}{ n-1}\right) - \frac{\ln 2}{n} \right]-1\\
&=\exp\left[\frac{1}{n}\left[\ln2+\ln\left(1+\frac{3}{ 2n-2}\right) \right]- \frac{\ln 2}{n} \right]-1=\\
&\stackrel{\bf(T)}{=}\exp\left[\frac{1}{n}\left[\ln2+\frac{3}{ 2n-2}-\frac{9}{ 2(2n-2)^2} \right]-\frac{\ln 2}{n} \right]-1\\
&=\exp\left[\frac{ \ln2}{n}+\frac{3}{ 2n(n-1)}-\frac{9}{ 8n(n-1)^2}-\frac{\ln 2}{n} \right]-1\\
&\sim \exp\left[ \frac{3}{ 2n(n-1)} \right]-1\\
&\sim \frac{3}{ 2n(n-1)}\sim \frac{3}{ 2n^2}\to\mbox {converge}
\end{align}
Scusa magari è ovvio, ma non ho capito come hai "spostato" il secondo esponenziale all'interno del primo (il secondo passaggio per intenderci).
Essendoci il 'meno' si può fare?
Essendoci il 'meno' si può fare?
ho semplicemente raccolto ... forse la scrittura esponenziale classica è più evidente ..
[size=150]\begin{align}....e^{ \frac{1}{n} \ln\left(\frac{2n+1}{n-1}\right) }-e^{\frac{\ln 2}{n} } = e^{ \frac{1}{n} \ln\left(\frac{2n+1}{n-1}\right) -{\frac{\ln 2}{n}} } -1\end{align}[/size]
[size=150]\begin{align}....e^{ \frac{1}{n} \ln\left(\frac{2n+1}{n-1}\right) }-e^{\frac{\ln 2}{n} } = e^{ \frac{1}{n} \ln\left(\frac{2n+1}{n-1}\right) -{\frac{\ln 2}{n}} } -1\end{align}[/size]
Nel passaggio in cui hai usato taylor non sarebbe bastato fino al primo ordine? Comunque grazie per la risposta!
si ma non ne ero sicuro! e quindi ho nesso un terminre in più .... che di certo non ti fa sbagliare! 
Grazie Noisemaker ma continuo a non capire, ho provato anche il calcolo con la calcolatrice ma vi vengono diversi...
Vado a rivedermi un attimo le proprietà degli esponenziali poi ricontrollo, grazie!
Vado a rivedermi un attimo le proprietà degli esponenziali poi ricontrollo, grazie!
Grazie mille. Comunque appena raccogli una elemento che non é in entrambi i membri di una somma, allora esso passa al denominatore quindi diventa \( e^{-\frac{ln2}{n}} \).
Suggerisco quest'altra soluzione:
Per \(\displaystyle A\geq B\geq 1 \) risulta \( \displaystyle \sqrt[n]{A}-\sqrt[n]{B}\leq \frac{A-B}{n}\) (questa disuguaglianza si ricava facilmente dall'identità \(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1})\)).
Quindi
\( \displaystyle 0 \leq \left( \frac{2n+1}{n-1}\right)^{\frac{1}{n}}-2^{\frac{1}{n}}\leq \frac{\frac{2n+1}{n-1}-2}{n}=\frac{3}{n(n-1)}<\frac{3}{(n-1)^2}\)
Per \(\displaystyle A\geq B\geq 1 \) risulta \( \displaystyle \sqrt[n]{A}-\sqrt[n]{B}\leq \frac{A-B}{n}\) (questa disuguaglianza si ricava facilmente dall'identità \(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1})\)).
Quindi
\( \displaystyle 0 \leq \left( \frac{2n+1}{n-1}\right)^{\frac{1}{n}}-2^{\frac{1}{n}}\leq \frac{\frac{2n+1}{n-1}-2}{n}=\frac{3}{n(n-1)}<\frac{3}{(n-1)^2}\)
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