Determinare i valori di b converge l'int. generalizzato

[lucadipd]

Ciao, non riesco a risolvere questo integrale generalizzato; Potete darmi una mano?

$ int_(0)^(+oo) (1-e^{-1/x^(1/3)})/((x)^(b) (1+x^2b)) dx $

Grazie mille

[Seneca1]

Il regolamento prevede che tu preponga alla richiesta di aiuto qualche tuo tentativo.

EDIT: Anzitutto ti posso dire che devi verificare l'integrabilità in un intorno destro di $0$ e in un intorno di $+oo$.

[lucadipd]

Quindi dovrei fare una cosa del genere?

$ int_(0)^(1) (1-e^{-1/x^(1/3)})/((x)^(b) (1+x^2b)) dx + int_(1)^(+oo) (1-e^{-1/x^(1/3)})/((x)^(b) (1+x^2b)) dx $

[Seneca1]

"lucadipd":Quindi dovrei fare una cosa del genere?

$ int_(0)^(1) (1-e^{-1/x^(1/3)})/((x)^(b) (1+x^2b)) dx + int_(1)^(+oo) (1-e^{-1/x^(1/3)})/((x)^(b) (1+x^2b)) dx $

Sì, è sicuramente una buona idea. Ti vengono in mente delle approssimazioni asintotiche convenienti?

[lucadipd]

"Seneca":[quote="lucadipd"]Quindi dovrei fare una cosa del genere?

$ int_(0)^(1) (1-e^{-1/x^(1/3)})/((x)^(b) (1+x^2b)) dx + int_(1)^(+oo) (1-e^{-1/x^(1/3)})/((x)^(b) (1+x^2b)) dx $

Sì, è sicuramente una buona idea. Ti vengono in mente delle approssimazioni asintotiche convenienti?[/quote]

Quindi nell'intorno di +oo

$ int_(1)^(+oo) (-1/x^(1/3))*(1/(x^b+x^3b)) dx $

Quindi

$ int_(1)^(+oo) (-1/x^(1/3+3b)) dx $

e $ b> 2/9 $ ?

[Seneca1]

"lucadipd":
$ int_(1)^(+oo) (-1/x^(1/3))*(1/(x^b+x^3b)) dx $

Non è forse $ int_(1)^(+oo) (-1/x^(1/3))*(1/(x^b+ x^(3 + b) b)) dx $ ?

[lucadipd]

"Seneca":[quote="lucadipd"]
$ int_(1)^(+oo) (-1/x^(1/3))*(1/(x^b+x^3b)) dx $

Non è forse $ int_(1)^(+oo) (-1/x^(1/3))*(1/(x^b+ x^(3 + b) b)) dx $ ?[/quote]

non capisco l'ultimo tuo passaggio,

$ x^b+ x^(3 + b) b $

Come fai ad avere questo risultato?

[Seneca1]

$x^(b) (1+x^2b) = x^b + x^(2 + b) b$

A meno che tu non abbia dimenticato una parentesi per cui l'espressione giusta fosse $(x)^(b) (1+x^(2b))$ ...

[lucadipd]

"Seneca":$x^(b) (1+x^2b) = x^b + x^(2 + b) b$

A meno che tu non abbia dimenticato una parentesi per cui l'espressione giusta fosse $(x)^(b) (1+x^(2b))$ ...

Si mi sono sbagliato con la parentesi, l'espressione giusta è $(x)^(b) (1+x^(2b))$

così riporterebbe?

[Seneca1]

$ int_(1)^(+oo) (1/x^(1/3))*(1/(x^b+x^(3b))) dx $

[ Ho corretto anche un segno meno. Il limite notevole è $lim_(x -> 0) (1 - e^x)/x = -1$ ]

$ int_(1)^(+oo) 1/(x^(b + 1/3) +x^(3b + 1/3)) dx $

Se $b > 0$ si ha che $b + 1/3 < 3b + 1/3$ quindi:

$1/(x^(b + 1/3) +x^(3b + 1/3)) sim 1/(x^(3b + 1/3)) $ per $x -> +oo$.

A questo punto basta confrontare l'integrale con $int 1/x^alpha dx$.
Poi devi trattare separatamente il caso in cui $b < 0$, modulo errori.

[lucadipd]

ok... quindi se non ho capito male ora confronto con la serie armonica e per $ x->+oo $ l'integrale converge se e solo se

$ 1/3+3b>1 $ quindi $ b>2/9$ giusto?

per trattare il caso di $ x->0 $ cosa ne pensi se scompongo così:

$ int_(0)^(1) (1-1/e^(1/x^(1/3)))*(1/(x^b+x^(3b)))dx $quindi divido l'integrale e viene

$ int_(0)^(1) (1/(x^b+x^(3b)))dx - int_(0)^(1) (1/e^(1/x^(1/3)))*(1/(x^b+x^(3b)))dx $

poi $ (1/e^(1/x^(1/3))) $ integrato tra 0 ed 1 converge e mi rimane:

$2 int_(0)^(1) (1/(x^b+x^(3b)))dx$ quindi per $x->0$ diventa $2int_(0)^(1) 1/x^b dx$ e converge per $b<1$

in definitiva l'integrale improprio dovrebbe convergere per $2/9
avrò fatto un po' di casino lo ammetto, spero che ci capirai qualcosa ugualmente ...

[Seneca1]

"lucadipd":$ int_(0)^(1) (1/(x^b+x^(3b)))dx - int_(0)^(1) (1/e^(1/x^(1/3)))*(1/(x^b+x^(3b)))dx $

poi $ (1/e^(1/x^(1/3))) $ integrato tra 0 ed 1 converge e mi rimane:

$2 int_(0)^(1) (1/(x^b+x^(3b)))dx$ quindi per $x->0$ diventa $2int_(0)^(1) 1/x^b dx$ e converge per $b<1$

Dubito che una cosa del genere si possa fare. Infatti per gli integrali generalizzati vale la seguente osservazione: non è vero in generale che il prodotto di funzioni integrabili in senso generalizzato è integrabile in senso generalizzato.

In questo caso forse non ci sono problemi perché in fondo $1/e^(1/x^(1/3)) -> 0$ per $x -> 0^+$, ma le cose andrebbero comunque giustificate un po' più accuratamente.