Determinare i punti di massimo e minimo relativi

[catalanonicolo]

Salve ragazzi. L'esercizio chiede:
determinare se esistono gli eventuali punti di massimo e di minimo di $ f(x)= |x^3-3x| $ nell'intervallo chiuso di estremi -2 e 3.

Allora la f è continua nell'intervallo quindi per il teorema di Weiestrass la f è dotata di max e min ed in particolare i primi candidati sono $ x=-2 $ e $ x=3 $

$ f(-2)=2 $
$ f(3)=18 $

Dopo ho calcolato la derivata della f. (Per semplicità chiamo l'intervallo I)
$ AA x in I-{ -3^(1/2); 0; 3^(1/2) } $

$ f'(x)=(|x^3-3x|/(x^3-3x))(3x^2-3) $

Gli altri candidati ad essere punti di max e di min sono i punti di non derivabilità i punti in cui la derivata assume valore nullo (per il teorema di fermat). Il ragionamento é corretto?

Quindi si tratta dei punti che ho escluso dall'intervallo I + x=1 e x=-1. Sto procedendo nel modo corretto?

Sono ben accette critiche, rimproveri e correzioni! Sbagliando si impara!

[kobeilprofeta]

Poni $f'(x)>0$ e guardi quando la funzione cresce e quando decresce. Quando da positiv passa a negativa, quello è un max.

[catalanonicolo]

Si questo era scontato, ma senza osservare la crescenza e decrescenza della f, i candidati sono quelli che ho elencato?

[ostrogoto1]

Poiche' $ f(x)>=0 $ io concluderei direttamente che i punti in cui $ f(x)=0 $ sono candidatissimi quali minimi...

[ciampax]

Come diceva ostrogoto, poiché $f(x)\ge 0$, i minimi, assoluti, si hanno per $x^3-3x=0$, per cui $x=0,\ x=\pm\sqrt{3}$ che sono tutti nell'intervallo. Per i massimi, calcola la derivata del solo argomento del modulo e ponila uguale a zero: si ha $3x^2-3=0$ da cui $x=\pm 1$ e in tali punti $f(\pm 1)=2$. Inoltre, avendosi $f(-2)=2,\ f(3)=18$, risulta che $x=\pm 1,\ x=-2$ sono massimi relativi, mentre $x=3$ è il massimo assoluto.

[catalanonicolo]

Grazie ragazzi