Determinare i punti critici e studiarne la natura: giusto?

[smaug1]

della seguente funzione:

\(\displaystyle f(x,y) = x^3 + 3x^2 + 4xy + y^2 \)

Devo trovare le derivate parziali e vedere quando si annullano?

\(\displaystyle f_x = 3x^2 + 6x + 4y \)

\(\displaystyle f_y= 4x + 2y \)

Però come faccio a dire quando si annullano? mettendo a sistema???

[Camillo]

Certamente mettendo a sistema e risolvendolo.
Troverai le coordinate dei punti critici.

[smaug1]

Omettendo i calcoli i punti critici sono:

\(\displaystyle P_1 = (0;0) \)

\(\displaystyle P_2 = (- \frac{2}{3}; \frac{4}{3}) \)

Ora è necesario calcolare le derivate seconde che sono:

\(\displaystyle f_{xx} = 6x + 6 \) ; \(\displaystyle f_{xy} = 4 \)

\(\displaystyle f_{yy} = 2 \); \(\displaystyle f_{yx} = 4 \)

Giusto?

[smaug1]

Per il punto\(\displaystyle P_1 \) il \(\displaystyle H_f = f_{xx}(0;0) f_{yy}(0;0) - f^2_{xy}(0;0) = -4 ? \) punto di sella?

Per il punto \(\displaystyle P_2 \) il \(\displaystyle H_f = f_{xx}(-\frac{2}{3};\frac{4}{3}) f_{yy}(-\frac{2}{3};\frac{4}{3}) - f^2_xy(-\frac{2}{3};\frac{4}{3}) \) \(\displaystyle = -4 \) mentre dovrebbe essere \(\displaystyle > 0 \) essendo un punto di minimo. Cosa sbaglio? Grazie

[kate-sweet]

io trovo che il punto P1 è un punto di minimo...mentre con P2 l'hessiano è nullo..quindi devi applicare qualche metodo per l'hessiano nullo...