Determinare i punti critici

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Salve lunedì ho l'esame di analisi 2 ed avrei bisogno di un illuminazione dell'ultimo minuto:
L'esercizio mi chiede di calcolare gli estremi relativi della seguente funzione:

$ f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)+y^2-1 $

devo dire che la presenza della radice mi lascia un po' interdetta:
ci sono punti di non derivabilità da calcolare nel quale valutare eventuali estremi?
o devo farmi semplicemente la ricerca dei soliti punti critici?
Grazie in anticipo per qualsiasi tipo di aiuto

[Frink1]

Beh, un punto di non derivabilità c'è e lo vedi da sola. Rimangono da calcolare le derivate parziali nel punto (se esistono) così da avere un'espressione del gradiente. E' anche questo argomento di Analisi 2, non dovresti incontrare troppi problemi.

[8alma9]

Io ho provato a risolvere l'esercizio. E' abbastanza standard e il fatto che sia presente il radicale complica soltanto il calcolo del gradiente e della matrice Hessiana.

Per prima cosa "a occhio" vedì che vi è un minimo assoluto nel punto (0,0) e che la funzione non ha punti di massimo assoluti.

Dopodichè nel calcolo degli estremanti relativi troverai che i punti stazionari sono tutti quelli che giacciono sull'asse x e sull'asse y escluso il punto (0,0) che risulta non derivabile (ma già abbiamo trovato che è un punto di minimo assoluto e quindi di minimo relativo). Calcoli la matrice Hessiana per i punti dell'asse x e troverai che i punti che stanno sul semiasse positivo delle x sono punti di minimo relativo, mentre i punti che stanno sul semiasse negativo sono punti di massimo relativo. Analogamente per i punti dell'asse y troverai che quelli che stanno nel semiasse positivo delle y sono di minimo relativo e quelli che stanno nel semiasse negativo sono punti di massimo relativo.