Determinare gli estremi in una funzione di due variabili
Salve a tutti, stavo svolgendo questo esercizio:
Determinare gli estremi della funzione: \(\displaystyle \mathit{f(x,y)} = 2((log(x^2-8)+log(y+1))-y +2x\)
ho calcolato il dominio che viene \(\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : |x|> \sqrt{8} \vee y>-1 \} \)
poi ho calcolato le due derivate prime e le ho poste =0 e vengono:
rispetto a x: \(\displaystyle f'(x,y)= \frac{x^2+2x-8}{x^2-8} \) e ponendola =0 mi risulta \(\displaystyle x1=-4 \vee x2=2 \)
rispetto a y: \(\displaystyle f'(x,y)= \frac{-y+1}{y+1} \) e ponendola =0 risulta \(\displaystyle y=1 \)
quindi adesso ho il punto P(-4, 1) (non uso x=2 perchè compare nel dominio)
ho calcolato la matrice Hessiana e ho sostituito il punto P e viene:
$ ( ( (-x^2-8x)/(x^2-8)^2 , 0 ),( 0 , (-2)/(y+1)^2 ) ) $
sostituendo il P(-4,1) viene:
$ ( ( 3/4 , 0 ),( 0 , -1/2 ) ) $
essendo una matrice diagonale gli autovalori sono gli elementi della diagonale quindi 3/4 e -1/2, quindi uno positivo e uno negativo quindi la matrice non è definita e non posso dire se P(-4,1) è un punto di minimo, massimo o sella. E' corretto lo svolgimento dell'esercizio, perchè ho confrontato con le soluzioni date dalla prof e dice che il punto P(-4,1) è un punto di massimo.
Vi ringrazio anticipatamente per le rispote!
Determinare gli estremi della funzione: \(\displaystyle \mathit{f(x,y)} = 2((log(x^2-8)+log(y+1))-y +2x\)
ho calcolato il dominio che viene \(\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : |x|> \sqrt{8} \vee y>-1 \} \)
poi ho calcolato le due derivate prime e le ho poste =0 e vengono:
rispetto a x: \(\displaystyle f'(x,y)= \frac{x^2+2x-8}{x^2-8} \) e ponendola =0 mi risulta \(\displaystyle x1=-4 \vee x2=2 \)
rispetto a y: \(\displaystyle f'(x,y)= \frac{-y+1}{y+1} \) e ponendola =0 risulta \(\displaystyle y=1 \)
quindi adesso ho il punto P(-4, 1) (non uso x=2 perchè compare nel dominio)
ho calcolato la matrice Hessiana e ho sostituito il punto P e viene:
$ ( ( (-x^2-8x)/(x^2-8)^2 , 0 ),( 0 , (-2)/(y+1)^2 ) ) $
sostituendo il P(-4,1) viene:
$ ( ( 3/4 , 0 ),( 0 , -1/2 ) ) $
essendo una matrice diagonale gli autovalori sono gli elementi della diagonale quindi 3/4 e -1/2, quindi uno positivo e uno negativo quindi la matrice non è definita e non posso dire se P(-4,1) è un punto di minimo, massimo o sella. E' corretto lo svolgimento dell'esercizio, perchè ho confrontato con le soluzioni date dalla prof e dice che il punto P(-4,1) è un punto di massimo.
Vi ringrazio anticipatamente per le rispote!
Risposte
ma il determinante di quella matrice non viene negativo?quindi sai che punto è
ma non bisogna guardare il segno degli autovalori?? io so che se il determinante è negativo gli autovalori sono uno + e uno -, quindi la matrice non è definita ne positiva ne negativa.
guarda che in $ R^2 $ basta il segno del determinante per dire di che punto si tratta.
in $ R^n $ si applica il ragionamento che dici tu.
ho guardato i miei appunti e riporto testualmente:
Dal teorema di HURWITZ segue che:
1)se i determinanti dei minori principali della matrice hessiana hanno segni alterni a partire dal segno -, allora il punto analizzato è di massimo relativo
2)se i determinanti dei minori principali sono tutti di segno positivo, allora è un punto di minimo relativo
3) per tutti gli altri casi non è ne di minimo ne di massimo
Ma questo vale quando abbiamo funzioni in n variabili (come ti dicevo all'inizio)
in $ R^n $ si applica il ragionamento che dici tu.
ho guardato i miei appunti e riporto testualmente:
Dal teorema di HURWITZ segue che:
1)se i determinanti dei minori principali della matrice hessiana hanno segni alterni a partire dal segno -, allora il punto analizzato è di massimo relativo
2)se i determinanti dei minori principali sono tutti di segno positivo, allora è un punto di minimo relativo
3) per tutti gli altri casi non è ne di minimo ne di massimo
Ma questo vale quando abbiamo funzioni in n variabili (come ti dicevo all'inizio)
Inoltre ho una bella osservazione scritta in rosso:
I punti critici di f per cui $ det(H) < 0 $ si dicono punti di sella.
I punti critici di f per cui $ det(H) < 0 $ si dicono punti di sella.
ok perfetto! 
come non detto!ti ringrazio molto! dovrò correggere i miei appunti!! 
come non detto!ti ringrazio molto! dovrò correggere i miei appunti!!
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