Determinare eventuali estremi relativi ed assoluti
Ho un problema ragazzi, più che la soluzione dell'esercizio vorrei comprendere bene i passaggi da fare per arrivare a determinare gli estremi.
La funzione è la seguente $ sqrt (4 | x | - 1/x ) $
Prima di tutto devo studiare il dominio giusto? ovvero
$ 4|x| - 1/x >= 0 $
$4(x) - 1/x >= 0$
$4(-x) - 1/x < 0$
Giusto?
Ora devo studiarle separatamente e vedere se sono dotate di asintoti orizzontali per vedere se ci sono estremi assoluti giusto?
Dopo di ciò separatamente faccio le derivate e le pongo $D(4x - 1/x) > 0 $ e $D(-4X - 1/x) >0 $ ?
E vedo i punti di minimo e massimo dallo schema dei segni?
La funzione è la seguente $ sqrt (4 | x | - 1/x ) $
Prima di tutto devo studiare il dominio giusto? ovvero
$ 4|x| - 1/x >= 0 $
$4(x) - 1/x >= 0$
$4(-x) - 1/x < 0$
Giusto?
Ora devo studiarle separatamente e vedere se sono dotate di asintoti orizzontali per vedere se ci sono estremi assoluti giusto?
Dopo di ciò separatamente faccio le derivate e le pongo $D(4x - 1/x) > 0 $ e $D(-4X - 1/x) >0 $ ?
E vedo i punti di minimo e massimo dallo schema dei segni?
Risposte
"mikybest":
$4(x) - 1/x >= 0$
Attento qui eh, cosa succede se \(\displaystyle x \) vale \(\displaystyle 0 \)?
"mikybest":
... Prima di tutto devo studiare il dominio giusto? ovvero
$ 4|x| - 1/x >= 0 $
$4(x) - 1/x >= 0$
$4(-x) - 1/x < 0$
Giusto?
...
Non mi pare ...
Questo $4x - 1/x >= 0$ se $x>=0$ mentre questo $-4x - 1/x > 0$ se $x<0$ ...
Cordialmente, Alex
"Ianero":
[quote="mikybest"]
$4(x) - 1/x >= 0$
Attento qui eh, cosa succede se \(\displaystyle x \) vale \(\displaystyle 0 \)?[/quote]
Giusto deve essere maggiore strettamente...
"axpgn":
[quote="mikybest"]... Prima di tutto devo studiare il dominio giusto? ovvero
$ 4|x| - 1/x >= 0 $
$4(x) - 1/x >= 0$
$4(-x) - 1/x < 0$
Giusto?
...
Non mi pare ...
Questo $4x - 1/x >= 0$ se $x>=0$ mentre questo $-4x - 1/x > 0$ se $x<0$ ...
Cordialmente, Alex[/quote]
Giusto
Una volta studiato separatamente le due funzioni, come determino gli estremi assoluti? Io quello non ho ben capito, perché una volta che pongo maggiore a 0 la derivata ottengo lo studio dei segni e quindi gli estremi relativi come faccio a capire se sono anche assoluti
Quindi da $ sqrt ( 4|x| - 1/x) $ ottengo
$sqrt( 4x - 1/x )$ se $x > 0 $
$sqrt( - 4x - 1/x )$ se $x < 0 $
Le studio separatamente, inizio dalla prima:
$sqrt( 4x - 1/x )$ se $x > 0 $
Con il dominio:
$4x -1/x >= 0$ e $ x!=0 $
ovvero $4x - 1/x > 0$
ovvero $ (4x^2-1)/x >0 $
N) $4x^2 - 1 > 0 $
$x^2 > 1/4 $
con soluzione $x < - 1/2 , x > 1/2 $
D) $ x >0 $
Quindi il dominio è $ x> 1/2 $
Per calcolare l'asintoto orizzontale il limite che tende a +/- infinito, invece quello verticale nel punto dove si annulla la funzione ovvero $x=0$
Fino a qui ci siamo?
$sqrt( 4x - 1/x )$ se $x > 0 $
$sqrt( - 4x - 1/x )$ se $x < 0 $
Le studio separatamente, inizio dalla prima:
$sqrt( 4x - 1/x )$ se $x > 0 $
Con il dominio:
$4x -1/x >= 0$ e $ x!=0 $
ovvero $4x - 1/x > 0$
ovvero $ (4x^2-1)/x >0 $
N) $4x^2 - 1 > 0 $
$x^2 > 1/4 $
con soluzione $x < - 1/2 , x > 1/2 $
D) $ x >0 $
Quindi il dominio è $ x> 1/2 $
Per calcolare l'asintoto orizzontale il limite che tende a +/- infinito, invece quello verticale nel punto dove si annulla la funzione ovvero $x=0$
Fino a qui ci siamo?
"mikybest":
[quote="Ianero"][quote="mikybest"]
$4(x) - 1/x >= 0$
Attento qui eh, cosa succede se \(\displaystyle x \) vale \(\displaystyle 0 \)?[/quote]
Giusto deve essere maggiore strettamente...[/quote]
Guarda che lui intendeva farti notare che per $x=0$ la funzione NON esiste, non c'entra lo "strettamente" ... e visto che stavi cercando il dominio ...
Quello non è un sistema di disequazioni , ma una fratta. Hai saltato un intervallo di soluzioni 
Uh, non mi ero accorto della risposta di axpgn, comunque si volevo dire che la funzione in 0 non è proprio definita
Uh, non mi ero accorto della risposta di axpgn, comunque si volevo dire che la funzione in 0 non è proprio definita
Aspettate ragazzi sono un po' confuso 
..
Quindi c'è il valore assoluto, ciò significa che le funzioni sono due.
Inoltre oltre a porre l'argomento della radice maggiore uguale di zero, devo porre anche x diverso da zero...
..Quindi c'è il valore assoluto, ciò significa che le funzioni sono due.
Inoltre oltre a porre l'argomento della radice maggiore uguale di zero, devo porre anche x diverso da zero...
"mikybest":
... Con il dominio:
$4x -1/x >= 0$ e $ x!=0 $
ovvero $4x - 1/x > 0$
Non esattamente, il segno di uguaglianza lo devi mantenere perché è $x!=0$ non tutto il membro di sinistra ...
"mikybest":
... invece quello verticale nel punto dove si annulla la funzione ovvero $x=0$ ...
Non dove si annulla, ma dove non è definita; nel punto $x=0$ la funzione non è definita, non è nulla ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="mikybest"]... Con il dominio:
$4x -1/x >= 0$ e $ x!=0 $
ovvero $4x - 1/x > 0$
Non esattamente, il segno di uguaglianza lo devi mantenere perché è $x!=0$ non tutto il membro di sinistra ...
"mikybest":
... invece quello verticale nel punto dove si annulla la funzione ovvero $x=0$ ...
Non dove si annulla, ma dove non è definita; nel punto $x=0$ la funzione non è definita, non è nulla ...
Cordialmente, Alex[/quote]
Si dove non è definita scusa, ma il problema che ho più che altro è alla fine come vedere se i punti di minimo e massimo relativi sono anche assoluti...
Ti devi studiare il comportamento della funzione agli estremi dell'intervallo (o meglio degli intervalli 
) ... chiaro ?...
Quindi chiarisciti bene il dominio qual è ...
) ... chiaro ?...Quindi chiarisciti bene il dominio qual è ...
"axpgn":
Ti devi studiare il comportamento della funzione agli estremi dell'intervallo (o meglio degli intervalli
Quindi chiarisciti bene il dominio qual è ...
Chiarisco prima il dominio un attimo e poi chiariamo la ricerca degli estremi assoluti, in quanto quelli relativi gli ho compesi
Quindi studiando la prima funzione ovvero: $sqrt (4x - 1/x)$
Mi viene:
Dominio: $ -1/2<=x<0 , x >=1/2$
Il limite di $sqrt (4x - 1/x)$ che tende a +inf mi viene +inf.
Il limite di $sqrt (4x - 1/x)$ che tende a 0 dove non è definita la funzione, mi viene +inf.
Quindi non ha né asintoti orizzontali ne verticali.
La derivata prima mi viene:
$(1+4 x^2)/(2 x^2 sqrt(-1/x+4 x))$ che ora devo porre maggiore di zero.
Quindi ora devo risolvere
$(1+4 x^2)/(2 x^2 sqrt(-1/x+4 x)) > 0$
Giusto?
Mi viene:
Dominio: $ -1/2<=x<0 , x >=1/2$
Il limite di $sqrt (4x - 1/x)$ che tende a +inf mi viene +inf.
Il limite di $sqrt (4x - 1/x)$ che tende a 0 dove non è definita la funzione, mi viene +inf.
Quindi non ha né asintoti orizzontali ne verticali.
La derivata prima mi viene:
$(1+4 x^2)/(2 x^2 sqrt(-1/x+4 x))$ che ora devo porre maggiore di zero.
Quindi ora devo risolvere
$(1+4 x^2)/(2 x^2 sqrt(-1/x+4 x)) > 0$
Giusto?
"mikybest":
Quindi studiando la prima funzione ovvero: $sqrt (4x - 1/x)$
Mi viene:
Dominio: $ -1/2<=x<0 , x >=1/2$
Hai spezzato la funzione in due perché avevi il valore assoluto, ok.
Adesso stai studiando la prima: nel definire il dominio ti sei dimenticato che quella funzione che hai trovato partendo dall'originale con il valore assoluto, VALE solo per $x>=0$ quindi il dominio che hai scritto NON è corretto. Com'è quello giusto?
Quindi prima di andare avanti nei calcoli (magari inutili) definisci per bene TUTTO il dominio della funzione (cioè di tutte e due le parti. Ok?
Il dominio allora vale $x >= 1/2 $ per la prima..
Sì
Per il resto la derivata seconda rimane uguale. Devo porla maggiore di zero.
Quindi faccio due sistemi con
$ 1.a) x^2 > -1/4$
$ 1.b) 2x^2sqrt((-1/x+4x^2)/x) > 0 $
e l'altro con
$ 2.a) x^2 < -1/4$
$ 2.b) 2x^2sqrt((-1/x+4x^2)/x) < 0 $
La 1.a è sempre vera, mentre la 1.b è falsa.
Devo calcolare la radice quadrata in quanto $2x^2$ è sempre positivo, sbaglio?
Quindi faccio due sistemi con
$ 1.a) x^2 > -1/4$
$ 1.b) 2x^2sqrt((-1/x+4x^2)/x) > 0 $
e l'altro con
$ 2.a) x^2 < -1/4$
$ 2.b) 2x^2sqrt((-1/x+4x^2)/x) < 0 $
La 1.a è sempre vera, mentre la 1.b è falsa.
Devo calcolare la radice quadrata in quanto $2x^2$ è sempre positivo, sbaglio?
Ma cosa te ne fai della derivata?
Non devo porre la derivata maggiore di zero, per vedere i punti di minimo e massimo relativo?
In teoria sì, tutto bene ... ma quella funzione è composta da un membro sempre crescente e un altro sempre decrescente, la differenza sarà sempre più grande e sai già che è sempre positiva, quindi non ci saranno ne massimi ne minimi all'interno di quell'intervallo. Agli estremi, a te i calcoli ...
... e ricordati che c'è sempre l'altro pezzo prima di tirare conclusioni globali
... e ricordati che c'è sempre l'altro pezzo prima di tirare conclusioni globali
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