Determinare estremi locali e globali
Determinare estremi locali e globali della funzione... $ f(x,y)=e^(x^4-4x^2+3y^2 $
Io vorrei ridurre la funzione esponenziale al suo esponente... è giusto come ragionamento?? E inoltre, dovrei stabilire però se crescente o decrescente poichè qualora fosse decrescente dovrei invertirne il risultato che ottengo! Ho provato a farlo ma non esce! :'( Qualche suggerimento???
Io vorrei ridurre la funzione esponenziale al suo esponente... è giusto come ragionamento?? E inoltre, dovrei stabilire però se crescente o decrescente poichè qualora fosse decrescente dovrei invertirne il risultato che ottengo! Ho provato a farlo ma non esce! :'( Qualche suggerimento???
Risposte
Sì, basta studiare il comportamento dell'esponente che chiamo $g(x,y)$. Infatti per le derivate parziali prime si ha
$$f_x=f\cdot g_x,\qquad f_y=f\cdot g_y$$
indico con il pedice la derivata prima rispetto ad una delle variabili, mentre per le derivate parziali seconde
$$f_{x x}=f_x\cdot g_x+f\cdot g_{x x}=f(g_x^2+g_{x x})\\ f_{x y}=f_y\cdot g_x+f\cdot g_{x y}=f(g_x g_y+g_{x y})\\ f_{y y}=f_y\cdot g_y+f\cdot g_{y y}=f(g_y^2+g_{y y})$$
Ora, quando cechi i punti stazionari è ovvio che dovrai risolvere il sistema $g_x=0,\ g_y=0$. Dal momento che le derivate prime di $g$ sono nulle nei punti stazionari, l'analisi dell'hessiana equivale all'analisi della seguente matrice
$$\left(\begin{array}{cc}
f g_{x x} & f g_{x y}\\ f g_{x y} & f g_{y y}
\end{array}\right)=f^2\left(\begin{array}{cc}
g_{x x} & g_{x y}\\ g_{x y} & g_{y y}
\end{array}\right)$$
che, come puoi notare, tralasciando il valore di $f^2$ (che è ininfluente essendo sempre maggiore di zero) implica studiare il comportamento dell'hessiana della funzione $g$.
$$f_x=f\cdot g_x,\qquad f_y=f\cdot g_y$$
indico con il pedice la derivata prima rispetto ad una delle variabili, mentre per le derivate parziali seconde
$$f_{x x}=f_x\cdot g_x+f\cdot g_{x x}=f(g_x^2+g_{x x})\\ f_{x y}=f_y\cdot g_x+f\cdot g_{x y}=f(g_x g_y+g_{x y})\\ f_{y y}=f_y\cdot g_y+f\cdot g_{y y}=f(g_y^2+g_{y y})$$
Ora, quando cechi i punti stazionari è ovvio che dovrai risolvere il sistema $g_x=0,\ g_y=0$. Dal momento che le derivate prime di $g$ sono nulle nei punti stazionari, l'analisi dell'hessiana equivale all'analisi della seguente matrice
$$\left(\begin{array}{cc}
f g_{x x} & f g_{x y}\\ f g_{x y} & f g_{y y}
\end{array}\right)=f^2\left(\begin{array}{cc}
g_{x x} & g_{x y}\\ g_{x y} & g_{y y}
\end{array}\right)$$
che, come puoi notare, tralasciando il valore di $f^2$ (che è ininfluente essendo sempre maggiore di zero) implica studiare il comportamento dell'hessiana della funzione $g$.
Non dovrei prima stabilire se quell'esponenziale è crescente o decrescente???
Rileggi quello che ho scritto: ti ho già spiegato cosa accade.
Non capisco cos'è f! f è forse l'altra parte fattore che viene moltiplicato all'esponenziale? Non riesco a capire secondo quale regola la moltiplichi per la derivata parziale!
"Zumbo":se non ho capito male è $ f(x,y)=e^(x^4-4x^2+3y^2 $
Non capisco cos'è f!
prova a pensare a qual è la derivata di $f(x)=e^(2x)$
$f'=e^(2x)*2$
cioè la funzione $f$ (che sarebbe $e^(2x)$) moltiplicata per la derivata di $2x$ cioè $2$
"Zumbo":
Non capisco cos'è f! f è forse l'altra parte fattore che viene moltiplicato all'esponenziale? Non riesco a capire secondo quale regola la moltiplichi per la derivata parziale!
Visto che la tua funzione si chiama $f$, secondo te che cosa potrà mai essere $f$????? E dai però, appicciare il cervello prima di fare matematica non è una brutta cosa....
Scusa ciampax! Grazie mille!
Ho fatto l'Hessiano ma risulta nullo, qualcuno mi consiglia come procedere in questo caso... sul libro suggerisce di fare il limite per il punto che annulla l'Hessiano, ma perchè? Forse per vedere come si comporta nell'intorno?
Dunque, secondo quello che ti ho scritto, la tua funzione è $f(x,y)=e^{g(x,y)}$ con $g(x,y)=x^4-4x^2+3y^2$. Allora
$$g_x=4x^3-8x,\qquad g_y=6y$$
per cui si trovano i punti critici $O(0,0),\ A(\sqrt{2},0),\ B(-\sqrt{2},0)$.
Per l'hessiana abbiamo
$$H=\left(\begin{array}{cc}
12x^2-8 & 0\\ 0 & 6
\end{array}\right)$$
Nei punti $A$ e $B$ il determinante vale $96>0$ e quindi avendosi i valori sulla diagonale positivi si hanno due minimi. Nel punto $O$ si ha invece il determinante negativo (non nullo) e quindi si ha un punto di sella.
$$g_x=4x^3-8x,\qquad g_y=6y$$
per cui si trovano i punti critici $O(0,0),\ A(\sqrt{2},0),\ B(-\sqrt{2},0)$.
Per l'hessiana abbiamo
$$H=\left(\begin{array}{cc}
12x^2-8 & 0\\ 0 & 6
\end{array}\right)$$
Nei punti $A$ e $B$ il determinante vale $96>0$ e quindi avendosi i valori sulla diagonale positivi si hanno due minimi. Nel punto $O$ si ha invece il determinante negativo (non nullo) e quindi si ha un punto di sella.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo