Determinare e disegnare superficie e bordo con orientamento
Buongiorno, in allegato il file di un esercizio dove ho già svolto i punti A,B,C. Per quanto riguarda il Punto D non saprei proprio da dove cominciare. Sempre grato per l'aiuto! 
Risposte
Ma $\tau$ sarebbe il versore tangente? E cosa c'è di complicato? $\Sigma$ è una superficie notissima: puoi pensarla scritta così $z^2=2x^2+6y^2-5$ e vedere come essa si disegni nei piani $x=0$ e $y=0$. Da lì, fare il disegno completo (tenendo conto delle limitazioni per $z$ dovrebbe essere immediato, visto che la superficie si ottiene per rotazione attorno all'asse $z$.
per quanto riguarda $\partial\Sigma$ esso è una curva, o meglio, l'unione delle due curva che si ottengono quando consideri i valori $z=$ e $z=2$.
Il versore tangente, in particolare, lo ottieni considerando una parametrizzazione (che dovrebbe essere immediata) del pezzo di bordo su cui hai posto $z=2$.
per quanto riguarda $\partial\Sigma$ esso è una curva, o meglio, l'unione delle due curva che si ottengono quando consideri i valori $z=$ e $z=2$.
Il versore tangente, in particolare, lo ottieni considerando una parametrizzazione (che dovrebbe essere immediata) del pezzo di bordo su cui hai posto $z=2$.
Allora, sigma è un iperboloide, ma il disegno non capisco se devo farlo in due dimensioni, o in tre dimensioni (x,y,z). Per quanto riguarda il bordo quando considero i valori di z ottengo 2 ellissi giusto? La parametrizzazione finale non mi risulta immediata.
Un iperboloide è una superficie di $RR^3$, per cui la prima domanda mi sembra oltremodo stupida! 
I bordi sono ellissi, esatto.
Ora, davvero non sai scrivere la parametrizzazione generale di una ellisse? Ricorda che essa è un "cerchio" con due raggi principali (assi). Eddai, accendi il cervellino!
I bordi sono ellissi, esatto.
Ora, davvero non sai scrivere la parametrizzazione generale di una ellisse? Ricorda che essa è un "cerchio" con due raggi principali (assi). Eddai, accendi il cervellino!
La parametrizzazione $\{(x=3/sqrt2 cos (t)),(y=sqrt(3/2) sin (t)):}$
é giusta?
Quindi il versore tangente è $(-3/sqrt2 sin (t), sqrt(3/2) cos (t))$ ?
é giusta?
Quindi il versore tangente è $(-3/sqrt2 sin (t), sqrt(3/2) cos (t))$ ?
Inoltre come faccio a determinare l'orientamento indotto da $\tau$?
La parametrizzazione è "quasi" giusta. Allora, facciamo le cose per bene:
se $z=0$ abbiamo $2x^2+6y^2=5$ pertanto la parametrizzazione è
$x=\sqrt{5/2}\cos t,\ y=\sqrt{5/6}\sin t,\ z=0$, con $t\in[0,2\pi]$ e orientamento antiorario;
se $z=2$ abbiamo $2x^2+6y^2=9$ e quindi
$x=\sqrt{9/2}\cos t,\ y=\sqrt{9/6}\sin t,\ z=2$, con $t\in[0,2\pi]$ e orientamento antiorario.
Ovviamente in entrambi i casi
$\tau(-a\sin t,b\cos t,0)$ con $a,b$ i coefficienti nei due casi.
Ovviamente per determinare il versore tangente nel punto dato, dovrai trovare il valore di $t$ corrispondente.
se $z=0$ abbiamo $2x^2+6y^2=5$ pertanto la parametrizzazione è
$x=\sqrt{5/2}\cos t,\ y=\sqrt{5/6}\sin t,\ z=0$, con $t\in[0,2\pi]$ e orientamento antiorario;
se $z=2$ abbiamo $2x^2+6y^2=9$ e quindi
$x=\sqrt{9/2}\cos t,\ y=\sqrt{9/6}\sin t,\ z=2$, con $t\in[0,2\pi]$ e orientamento antiorario.
Ovviamente in entrambi i casi
$\tau(-a\sin t,b\cos t,0)$ con $a,b$ i coefficienti nei due casi.
Ovviamente per determinare il versore tangente nel punto dato, dovrai trovare il valore di $t$ corrispondente.
Quindi nel mio caso il valore di $t$ che devo considerare è $\pi$ in modo da ritrovare la terna $(0, -sqrt(3/2), 2)$ giusto?
E come faccio a capire l'orientamento?
E come faccio a capire l'orientamento?
Io dico che è ${3\pi}/2$, che ne dici? In ogni caso non hai bisogno di trovare l'esatto valore di $t$: quello che sai è che
$3/\sqrt{2} \cos t=0,\ \sqrt{3/2} \sin t=-\sqrt{3/2}$ per cui $\cos t=0,\ \sin t=-1$
e basta sostituire questi due valori nell'espressione di $\tau$.
In ogni caso non hai bisogno di trovare l'esatto valore di $t$: quello che sai è che$3/\sqrt{2} \cos t=0,\ \sqrt{3/2} \sin t=-\sqrt{3/2}$ per cui $\cos t=0,\ \sin t=-1$
e basta sostituire questi due valori nell'espressione di $\tau$.
Ti invidio! Sempre grato! Ma quindi è orientato verso l'interno o verso l'esterno?
Cosa? Il vettore tangente? Ma figlio bello, lo sai come viene disegnato il vettore tangente di una curva? Che c'entra interno ed esterno? Quello è il vettore normale!
Il mio problema è la comprensione della domanda (forse non scritta in italiano), che contribuisce, oltre ai miei dubbi e lacune, a rimbecillirmi. Tant'è che ancora non la capisco.
Allora, vediamo di capirci: $\nu$ è il versore normale della superficie (suppongo) e la richiesta che $<\nu,k>\ge 0$ vuol dire che esso è orientato all'interno della superficie (in pratica, $\nu$ deve puntare verso l'alto, e se fosse esterno, punterebbe sempre verso il basso). A questo punto mi chiedo se $\tau$ non sia, invece, il versore normale del bordo, piuttosto che la tangente... ma questo è un mistero che puoi risolvere solo tu sulla base delle notazioni che usate.
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