Determinare al variare di alpha reale il valore del limite..

[smaug1]

Determinare al variare di alpha il valore del limite:
\(\displaystyle \lim \) per \(\displaystyle x \rightarrow 0 \)

\(\displaystyle x^\alpha \)\(\displaystyle \lgroup \)\(\displaystyle \frac{x+(senx)^2lnx}{e^{2x^2}-cos2x} \)\(\displaystyle \rgroup \)

il metodo consiste nel procedere sviluppando taylor, e arrivare in un punto, nel quale posso discutere il limite per alcuni valori di \(\displaystyle \alpha \), il problema è il \(\displaystyle lnx \)...come posso fare?

[Quinzio]

Prova ad approssimare $sen x$ con $x$, poi osserva il numeratore.... tenendo conto che $x log x=$......ecc

[smaug1]

non ho capito dove vuoi arrivare...mi vuoi dire che il numeratore mi diventa così:

\(\displaystyle x + x^2lnx \)? cosa posso cocludere?

[Seneca1]

In realtà aiuta solo a rendersi conto che $sin^2 (x) ln(x) sim x^2 ln(x)$ per $x -> 0$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x$, e come tale si può trascurare.

[smaug1]

Perfetto...e una volta arrivato qui (ammesso che i passaggi omessi siano corretti):

\(\displaystyle x^\alpha \)\(\displaystyle \frac{x + o(x)}{4x^2 + o(x^2)} \)

è corretto dire che:

se \(\displaystyle \alpha = 1 \) il limite è \(\displaystyle \frac{1}{4} \)?

se \(\displaystyle \alpha >1 \)?

se \(\displaystyle \alpha < 1 \)? che risultati ha il limite??

[Seneca1]

Secondo te...? Che risultati ha?

[smaug1]

seneca la mia sarà una domanda banale però non sono affatto sicuro di fronte a queste situazioni...mi verrebbe da dire che se \(\displaystyle \alpha >1 \) il limite è \(\displaystyle +\infty \) o se \(\displaystyle \alpha < 1 \) viene \(\displaystyle 0 \). Non riesco a capire la mia indecisione...è così?

[Seneca1]

Proviamo a prendere $alpha > 1$, ad esempio $alpha = 2$.

\(\displaystyle \frac{x^3 + o(x^3)}{4x^2 + o(x^2)} \)

e per $x -> 0$ il rapporto tende a $0$ (non ad infinito, quindi). Si capisce che questo succede $AA alpha > 1$.

[smaug1]

certo certo che sciocco! grazie mille! sei sempre disponibile!!!