Determinare a tale che:
determinare i valori di a $ in $ R tale che
$ ax^2 -ln(1+x^2) >= 0 $
io avevo pensato di studiare la derivata prima tuttavia in questo modo riesco solo a vedere se la funzione è crescente o decrescente non se è maggiore o minore di zero.
$ ax^2 -ln(1+x^2) >= 0 $
io avevo pensato di studiare la derivata prima tuttavia in questo modo riesco solo a vedere se la funzione è crescente o decrescente non se è maggiore o minore di zero.
Risposte
Bé, lo studio della derivata prima ti permette anche di capire massimi e mini e il grafico, generale, della funzione. Indichiamo con $f(x)=ax^2-\ln(1+x^2)$ la funzione scritta: il dominio è $D=RR$ come puoi verificare e inoltre, la funzione risulta pari. Per cui concentrati solo sull'intervallo $[0,+\infty)$. Per qualsiasi valore di $a$ si ha $f(0)=0$, per cui bisogna guardare cosa accade per $x>0$. Per prima cosa osserva che
$$\lim_{x\to+\infty} f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & a>0\\ -\infty & & a\le 0
\end{array}\right.$$
Inoltre il caso $a=0$ risulta banale poiché, avendosi $f(x)=-\ln(1+x^2)$, essa risulta sempre negativa e quindi il caso $a=0$ va escluso. Per quanto riguarda la derivata si ha
$$f'(x)=2ax-\frac{2x}{1+x^2}=\frac{2x(ax^2+a-1)}{1+x^2}$$
Se ci concentriamo solo su $x>0$ osserva che studiare la disequazione $f'(x)\ge 0$ equivale a studiare $ax^2+a-1\ge 0$. Ora, se $a-1>0$, il polinomio precedente è composto da somme di termini positivi, per cui risulta sempre positivo. Stessa cosa quando $a=1$. Se invece $00$, $x\ge\sqrt{\frac{1-a}{a}}$. Se invece studiamo per $a<0$, possiamo scrivere $b=-a>0$ e osservare che l'equazione diventa $-bx^2-b-1\ge 0\ \Rightarrow\ bx^2+b+1\le 0$ e possiamo osservare che, in tal caso, la disequazione non è mai verificata, perché il polinomio è dato dalla somma di termini sempre positivi. In definitiva si ha, per la funzione
1) se $a\ge 1$ la funzione risulta sempre crescente su $(0,+\infty)$ e sempre decrescente (per parità) su $(-\infty,0)$, pertanto l'origine risulta un minimo assoluto e quindi la funzione è sempre positiva;
2) se $0
3) se invece $a<0$ la funzione risulta sempre decrescente su $(0,+\infty)$ e sempre crescente su $(-\infty,0)$ per simmetria: di conseguenza l'origine risulta un massimo assoluto e quindi la funzione risulta sempre negativa e si annulla solo in $x=0$.
$$\lim_{x\to+\infty} f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & a>0\\ -\infty & & a\le 0
\end{array}\right.$$
Inoltre il caso $a=0$ risulta banale poiché, avendosi $f(x)=-\ln(1+x^2)$, essa risulta sempre negativa e quindi il caso $a=0$ va escluso. Per quanto riguarda la derivata si ha
$$f'(x)=2ax-\frac{2x}{1+x^2}=\frac{2x(ax^2+a-1)}{1+x^2}$$
Se ci concentriamo solo su $x>0$ osserva che studiare la disequazione $f'(x)\ge 0$ equivale a studiare $ax^2+a-1\ge 0$. Ora, se $a-1>0$, il polinomio precedente è composto da somme di termini positivi, per cui risulta sempre positivo. Stessa cosa quando $a=1$. Se invece $0
1) se $a\ge 1$ la funzione risulta sempre crescente su $(0,+\infty)$ e sempre decrescente (per parità) su $(-\infty,0)$, pertanto l'origine risulta un minimo assoluto e quindi la funzione è sempre positiva;
2) se $0
3) se invece $a<0$ la funzione risulta sempre decrescente su $(0,+\infty)$ e sempre crescente su $(-\infty,0)$ per simmetria: di conseguenza l'origine risulta un massimo assoluto e quindi la funzione risulta sempre negativa e si annulla solo in $x=0$.
Grazie mille, ottima risposta
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