Determianre gli zeri di una funzione
Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto riguardo due funzioni. Dovrei trovare gli zeri di due funzioni e cioè:
$f(x)= (x-7)/x$
$f(x)= ( log (x+1))/(2x+3)$
Oltre a queste due funzioni, in generale come si determinano gli zeri di una funzione ?
Grazie
$f(x)= (x-7)/x$
$f(x)= ( log (x+1))/(2x+3)$
Oltre a queste due funzioni, in generale come si determinano gli zeri di una funzione ?
Grazie
Risposte
Secondo te come si ragiona in questo caso?
E non lo so. Se lo avessi saputo, non lo avrei chiesto.
Zeri di una funzione = valori della x per cui la funzione si annulla, cioè vale 0.
Manca un metodo generale per determinare l'insieme degli $x\in X$ tali che \(f(x)=g(x)\), con $f,g$ due funzioni date a caso: se $f,g$ sono funzioni reali di variabile reale, la questione è comunque insolubile in generale, ma puoi già dire, ad esempio, che quegli $x\in\mathbb R$ sono quegli $x$ tali che $f(x)-g(x)=0$.
Allora un problema del genere puoi volerlo risolvere numericamente (c'è tutta una parte dell'analisi numerica che fa, essenzialmente, questo), puoi cercare di farlo analiticamente (usando il teorema degli zeri: se $u := f-g$ cambia segno in un intervallo $[a,b]$ vi si annulla almeno una volta: del resto, se continua a cambiare segno su un semintervallo...), e in altri modi ancora.
Allora un problema del genere puoi volerlo risolvere numericamente (c'è tutta una parte dell'analisi numerica che fa, essenzialmente, questo), puoi cercare di farlo analiticamente (usando il teorema degli zeri: se $u := f-g$ cambia segno in un intervallo $[a,b]$ vi si annulla almeno una volta: del resto, se continua a cambiare segno su un semintervallo...), e in altri modi ancora.
Tutto ciò che devi fare è risolvere un'equazione, ponendo la tua funzione di partenza uguale a zero.
\(\displaystyle
f(x) = \frac{x-7}{x} = 0
\)
Una frazione si annulla quando il numeratore si annulla:
\(\displaystyle x-7 = 0 \)
\(\displaystyle x=7 \)
Riguardo la seconda funzione
\(\displaystyle f(x) = \frac{log(x+1)}{2x+3} \)
Una frazione si annulla quando il numeratore si annulla:
\(\displaystyle log(x+1) = 0 \)
Se l'esponente che devo fare ad \(\displaystyle e \) (numero di Nepero) per ottenere \(\displaystyle x+1 \) è 0, allora
\(\displaystyle x+1 = 1 \)
\(\displaystyle x = 0 \)
\(\displaystyle
f(x) = \frac{x-7}{x} = 0
\)
Una frazione si annulla quando il numeratore si annulla:
\(\displaystyle x-7 = 0 \)
\(\displaystyle x=7 \)
Riguardo la seconda funzione
\(\displaystyle f(x) = \frac{log(x+1)}{2x+3} \)
Una frazione si annulla quando il numeratore si annulla:
\(\displaystyle log(x+1) = 0 \)
Se l'esponente che devo fare ad \(\displaystyle e \) (numero di Nepero) per ottenere \(\displaystyle x+1 \) è 0, allora
\(\displaystyle x+1 = 1 \)
\(\displaystyle x = 0 \)
@DeltaEpsilon: tutto vero, MA prima di fare qualsiasi cosa bisogna specificare il dominio delle espressioni in gioco. Qui è tutto molto semplice, ma comunque va specificato. Altrimenti, potresti star dividendo per zero.
"dissonance":
@DeltaEpsilon: tutto vero, MA prima di fare qualsiasi cosa bisogna specificare il dominio delle espressioni in gioco.
Giustissimo: colpa mia non aver specificato. Tento di rimediare
-
Le funzioni che hai proposto si annullano entrambe in corrispondenza di valori per cui la funzione è definita.
E' tuttavia opportuno controllare preventivamente il dominio di entrambe le funzioni altrimenti si può ricorrere a conclusioni errate.
La prima funzione non è definita per \(\displaystyle x = 0 \) ma non è un problema in quanto abbiamo scoperto che la funzione si annulla per \(\displaystyle x = 7 \)
La seconda funzione non è definita per \(\displaystyle x = -\frac{3}{2} \) (altrimenti si annullerebbe il denominatore) e per \(\displaystyle x \leq -1 \) (altrimenti il logaritmo naturale non avrebbe senso)... quindi in definitiva la seconda funzione non è definita per valori minori o uguali di \(\displaystyle -1 \)
Ma non è un problema neanche in questo caso poiché abbiamo scoperto che la funzione si annulla per \(\displaystyle x = 0 \) in cui la funzione è definita.
@DeltaEpsilon grazie mille. Un'ultima cosa. E se la funzione non fosse definita nello stesso punto in cui si annulla, cosa succede? Ad esempio quali potrebbero essere le soluzioni?
@alterante : non ragionare così, in astratto. Fai qualche esempio concreto.
Tipo $y= lnx/(x-1)$?
Questa non si annulla mai perché lo zero del numeratore non appartiene al dominio $D={x: x in RR ^^ x>0 ^^x !=1}$.
Questa non si annulla mai perché lo zero del numeratore non appartiene al dominio $D={x: x in RR ^^ x>0 ^^x !=1}$.
"alterante":
@DeltaEpsilon grazie mille. Un'ultima cosa. E se la funzione non fosse definita nello stesso punto in cui si annulla, cosa succede? Ad esempio quali potrebbero essere le soluzioni?
Prendiamo come esempio la funzione
\(\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{log(x)} \)
In questo caso il numeratore si annulla per \(\displaystyle x = 1 \) MA la funzione non è definita in tale punto poichè il logaritmo di 1 è 0 e quindi andrebbe ad annullare il denominatore.
Dunque se la funzione non assume valore in \(\displaystyle x = 1 \) non possiamo certamente dire che si annulla in tal punto.
Dato che non ci sono altri punti in cui la funzione potrebbe annullarsi (l'unico che abbiamo trovato non fa parte del dominio) allora concludiamo che la funzione non si annulla mai (nel suo dominio)
Edit: @melia non ho fatto caso al tuo messaggio prima di pubblicare il mio... noto che il fato mi ha portato a scrivere il reciproco della tua stessa funzione
Adesso non ho un esempio. Aiutatemi voi, poiché non so come comportarmi nel caso in cui si presenti una funzione non definita nel punto in cui si annulla.
@alterante: ma se ti hanno appena spiegato come si fa, con esempi concreti. Ragionaci su.
"alterante":
Adesso non ho un esempio. Aiutatemi voi, poiché non so come comportarmi nel caso in cui si presenti una funzione non definita nel punto in cui si annulla.
Beh la risposta, con relativi esempi, ti è stata proprio data da me e @melia
Se proprio devo essere telegrafico: se una funzione si annulla in un punto in cui essa non è definita, allora tale punto non va preso in considerazione in quanto non appartenente al dominio.
A me sembra che una funzione non può annullarsi dove non esiste; voglio dire che capisco benissimo ciò che intendi ma io eviterei di usare questa modalità di espressione in quanto a parer mio può generare ambiguità che poi sono difficili da eliminare ... IMHO
Grazie mille @DeltaEpsilon e @melia. Il motivo per cui ho caricato l'ultimo commento è perché non riuscivo a leggere le vostre risposte. Grazie
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