Descrizione geometrica campo di convergenza
Salve
prima della mia richiesta faccio una premessa
il mio corso di studi prevede lo studio dell'analisi 2 separato in due discipline, un corso denominato analisi 2 e uno di fisica matematica, entrambi concorrono a delineare quella che in genere è nota come analisi matematica 2, stessi argomenti, ma divisi in due corsi. Mi trovo nella condizione di avere una lacuna su un particolare punto che è compreso nel programma di analisi 2. In particolare data una serie di potenza riesco a determinarne il raggio di convergenza senza particolari problemi, e capire dove la serie converge o non converge anche agli estremi dell'intervallo. Tuttavia in alcune applicazioni mi si chiede di descrivere geometricamente il campo di convergenza e qui non ho gli strumenti per conoscerlo, o meglio intuisco solo qualcosa, riporto un esempio. Sia data questa serie di potenze (ne ometto il simbolo per accorciare i tempi)
$(1+i)^n*n^2*sin(1/n)*(sqrt(2)z+2)^n$
serie di potenze di punto iniziale $-(sqrt(2))$
il raggio di convergenza è $R=1/2$
la serie converge per $|z+sqrt(2)|<1/2$ e il nostro campo di convergenza è l'insieme $E={z in C : |z+sqrt(2)|<1/2 }$
ora lo devo descrivere geometricamente, ma non so come fare
posso intuire che si tratta dell'interiore di un disco di raggio $1/2$ e centro ( , ) qualcosa che non so determinare
potete spiegarmi come lo si rappresenta geometricamente, in particolare come trovare il centro del disco ?
credo che mi mancano gli strumenti, che dovrebbero essere dati nel corso di fisica matematica, posteriore a quello di analisi, infatti nel mio manuale non trovo nulla, addirittura neanche si parla di serie di potenze nei complessi
e negli appunti ho qualcosa che mi fa giungere alla conclusione che si tratta dell'interiore di un disco, ma nulla più
prima della mia richiesta faccio una premessa
il mio corso di studi prevede lo studio dell'analisi 2 separato in due discipline, un corso denominato analisi 2 e uno di fisica matematica, entrambi concorrono a delineare quella che in genere è nota come analisi matematica 2, stessi argomenti, ma divisi in due corsi. Mi trovo nella condizione di avere una lacuna su un particolare punto che è compreso nel programma di analisi 2. In particolare data una serie di potenza riesco a determinarne il raggio di convergenza senza particolari problemi, e capire dove la serie converge o non converge anche agli estremi dell'intervallo. Tuttavia in alcune applicazioni mi si chiede di descrivere geometricamente il campo di convergenza e qui non ho gli strumenti per conoscerlo, o meglio intuisco solo qualcosa, riporto un esempio. Sia data questa serie di potenze (ne ometto il simbolo per accorciare i tempi)
$(1+i)^n*n^2*sin(1/n)*(sqrt(2)z+2)^n$
serie di potenze di punto iniziale $-(sqrt(2))$
il raggio di convergenza è $R=1/2$
la serie converge per $|z+sqrt(2)|<1/2$ e il nostro campo di convergenza è l'insieme $E={z in C : |z+sqrt(2)|<1/2 }$
ora lo devo descrivere geometricamente, ma non so come fare
posso intuire che si tratta dell'interiore di un disco di raggio $1/2$ e centro ( , ) qualcosa che non so determinare
potete spiegarmi come lo si rappresenta geometricamente, in particolare come trovare il centro del disco ?
credo che mi mancano gli strumenti, che dovrebbero essere dati nel corso di fisica matematica, posteriore a quello di analisi, infatti nel mio manuale non trovo nulla, addirittura neanche si parla di serie di potenze nei complessi
e negli appunti ho qualcosa che mi fa giungere alla conclusione che si tratta dell'interiore di un disco, ma nulla più
Risposte
Innanzitutto, occhio al raggio di convergenza, che non mi pare quello giusto.
Poi, hai mai studiato i numeri complessi e la loro rappresentazione goemetrica nel piano?
Se non l'hai fatto, o se non ricordi questo argomento, ti consiglio vivamente di andartelo a riprendere su un libro di Analisi I (ad esempio).
In tal modo potresti completare da solo la tua, giusta, intuizione.
Poi, hai mai studiato i numeri complessi e la loro rappresentazione goemetrica nel piano?
Se non l'hai fatto, o se non ricordi questo argomento, ti consiglio vivamente di andartelo a riprendere su un libro di Analisi I (ad esempio).
In tal modo potresti completare da solo la tua, giusta, intuizione.
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