Derivta distribuzionale

[Justice1]

Salve a tutti, mi sto bloccando su un esercizio che dovrebbe essere alquanto semplice e che nonostante ciò mi sta creando delle difficoltà. Dovrei calcolare il valore di

\(\displaystyle <(sinx) \delta\circ '', \varphi> \) (come lo scrivo delta 0? ) sapendo che \(\displaystyle \varphi '(0)=-2 \).

Il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle -4 \). Mi illustrate il procedimento per favore? Grazie in anticipo

[Justice1]

Nessuno mi sa aiutare? Non dovrebbe essere particolarmente difficile..

[gugo82]

Tu cosa hai provato?
Sai com'è definita la derivata distribuzionale? Come ti aiuta saperlo in questo caso?

[Justice1]

Io pensavo di "spostare" l'operazione di derivazione sulla funzione test, ma non credo sia fattibile dato che ho anche quel seno, sbaglio?

[gugo82]

Innanzitutto, ricordo i seguenti fatti.

[*:q9kllxcq] Se \(F\) è una distribuzione (cioé se \(F\) è un funzionale lineare continuo sullo spazio delle funzioni test \(\mathcal{D} := C_c^\infty(\mathbb{R})\)), per ogni funzione \(a\in C^\infty\) è possibile definire la distribuzione \(aF\) mediante l'assegnazione:
\[
\langle a\ F, \varphi\rangle := \langle F, a\ \varphi\rangle\; .
\]

[/*:m:q9kllxcq]
[*:q9kllxcq] Ogni distribuzione \(F\) è dotata di derivate di ordine comunque elevato ed, in particolare, la derivata \(k\)-esima è la distribuzione \(F^{(k)}\) definita ponendo:
\[
\langle F^{(k)}, \varphi \rangle := (-1)^k\ \langle F, \varphi^{(k)}\rangle
\]
per ogni test \(\varphi \in \mathcal{D}\).

[/*:m:q9kllxcq]
[*:q9kllxcq] In particolare, le derivate della \(\delta\) sono impulsi che campionano le derivate della funzione test cui sono applicate, cioé si ha:
\[
\langle \delta^{(k)}, \varphi\rangle := (-1)^k\ \langle \delta ,\varphi^{(k)} \rangle\; .
\][/*:m:q9kllxcq][/list:u:q9kllxcq]

Detto ciò, non è difficile capire come svolgere i conti nel caso in cui si voglia calcolare esplicitamente la distribuzione \(a\ \delta^{(k)}\), con \(a\in C^\infty\) e \(k\geq 1\), poiché infatti si ha:
\[
\begin{split}
\langle a\ \delta^{(k)}, \varphi \rangle &= \langle \delta^{(k)}, a\ \varphi\rangle \\
&= (-1)^k\ \langle \delta, \left( a\ \varphi\right)^{(k)}\rangle \\
&= (-1)^k\ \langle \delta, \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ a^{(i)}\ \varphi^{(k-i)}\rangle\\
&= (-1)^k\ \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ \langle \delta, a^{(i)}\ \varphi^{(k-i)}\rangle
\end{split}
\]
(pr sviluppare la derivata del prodotto ho usato la classica formula di Leibniz).

Questo risolve il tuo esercizio, vero?

[Justice1]

Non credo di aver mai ricevuto su un forum una riposta così ben strutturata, completa ed esaustiva. Grazie mille davvero, sei un grande! Purtroppo non prendevo in considerazione questa proprietà:

"gugo82":
Se \( F \) è una distribuzione (cioé se \( F \) è un funzionale lineare continuo sullo spazio delle funzioni test \( \mathcal{D} := C_c^\infty(\mathbb{R}) \)), per ogni funzione \( a\in C^\infty \) è possibile definire la distribuzione \( aF \) mediante l'assegnazione:
\[ \langle a\ F, \varphi\rangle := \langle F, a\ \varphi\rangle\; . \]

La terrò a mente. Grazie ancora!