Derivta distribuzionale
Salve a tutti, mi sto bloccando su un esercizio che dovrebbe essere alquanto semplice e che nonostante ciò mi sta creando delle difficoltà. Dovrei calcolare il valore di
\(\displaystyle <(sinx) \delta\circ '', \varphi> \) (come lo scrivo delta 0?
) sapendo che \(\displaystyle \varphi '(0)=-2 \).
Il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle -4 \). Mi illustrate il procedimento per favore? Grazie in anticipo
\(\displaystyle <(sinx) \delta\circ '', \varphi> \) (come lo scrivo delta 0?

Il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle -4 \). Mi illustrate il procedimento per favore? Grazie in anticipo

Risposte
Nessuno mi sa aiutare? Non dovrebbe essere particolarmente difficile..
Tu cosa hai provato?
Sai com'è definita la derivata distribuzionale? Come ti aiuta saperlo in questo caso?
Sai com'è definita la derivata distribuzionale? Come ti aiuta saperlo in questo caso?
Io pensavo di "spostare" l'operazione di derivazione sulla funzione test, ma non credo sia fattibile dato che ho anche quel seno, sbaglio?
Innanzitutto, ricordo i seguenti fatti.
- [*:q9kllxcq] Se \(F\) è una distribuzione (cioé se \(F\) è un funzionale lineare continuo sullo spazio delle funzioni test \(\mathcal{D} := C_c^\infty(\mathbb{R})\)), per ogni funzione \(a\in C^\infty\) è possibile definire la distribuzione \(aF\) mediante l'assegnazione:
\[
\langle a\ F, \varphi\rangle := \langle F, a\ \varphi\rangle\; .
\]
[/*:m:q9kllxcq]
[*:q9kllxcq] Ogni distribuzione \(F\) è dotata di derivate di ordine comunque elevato ed, in particolare, la derivata \(k\)-esima è la distribuzione \(F^{(k)}\) definita ponendo:
\[
\langle F^{(k)}, \varphi \rangle := (-1)^k\ \langle F, \varphi^{(k)}\rangle
\]
per ogni test \(\varphi \in \mathcal{D}\).
[/*:m:q9kllxcq]
[*:q9kllxcq] In particolare, le derivate della \(\delta\) sono impulsi che campionano le derivate della funzione test cui sono applicate, cioé si ha:
\[
\langle \delta^{(k)}, \varphi\rangle := (-1)^k\ \langle \delta ,\varphi^{(k)} \rangle\; .
\][/*:m:q9kllxcq][/list:u:q9kllxcq]
Detto ciò, non è difficile capire come svolgere i conti nel caso in cui si voglia calcolare esplicitamente la distribuzione \(a\ \delta^{(k)}\), con \(a\in C^\infty\) e \(k\geq 1\), poiché infatti si ha:
\[
\begin{split}
\langle a\ \delta^{(k)}, \varphi \rangle &= \langle \delta^{(k)}, a\ \varphi\rangle \\
&= (-1)^k\ \langle \delta, \left( a\ \varphi\right)^{(k)}\rangle \\
&= (-1)^k\ \langle \delta, \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ a^{(i)}\ \varphi^{(k-i)}\rangle\\
&= (-1)^k\ \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ \langle \delta, a^{(i)}\ \varphi^{(k-i)}\rangle
\end{split}
\]
(pr sviluppare la derivata del prodotto ho usato la classica formula di Leibniz).
Questo risolve il tuo esercizio, vero?

Non credo di aver mai ricevuto su un forum una riposta così ben strutturata, completa ed esaustiva. Grazie mille davvero, sei un grande!
Purtroppo non prendevo in considerazione questa proprietà:
La terrò a mente. Grazie ancora!

"gugo82":
Se \( F \) è una distribuzione (cioé se \( F \) è un funzionale lineare continuo sullo spazio delle funzioni test \( \mathcal{D} := C_c^\infty(\mathbb{R}) \)), per ogni funzione \( a\in C^\infty \) è possibile definire la distribuzione \( aF \) mediante l'assegnazione:
\[ \langle a\ F, \varphi\rangle := \langle F, a\ \varphi\rangle\; . \]
La terrò a mente. Grazie ancora!
