Derivazione tramite la matrice triangolare L di Pascal
la derivata n-ma di una funzione può essere ottenuta dall' inversa della matrice triangolare inferiore di Pascal.
Il pdf "Calcolo Matriciale" visionabile nella sezione "Matrix Calculus" del sito http://ilario.mazzei.googlepages.com/home fornisce una dimostrazione per induzione del teorema.
Ilario Mazzei
Il pdf "Calcolo Matriciale" visionabile nella sezione "Matrix Calculus" del sito http://ilario.mazzei.googlepages.com/home fornisce una dimostrazione per induzione del teorema.
Ilario Mazzei
Risposte
Pagina 2, 6° rigo dall'altro:
"$f^((1))(x+"d"x)=lim_("d"x\to 0) (f(x+2"d"x)-f(x+"d"x))/("d"x)$"
La formula non ha senso, in quanto il valore del limite a secondo membro non dipende dalla variabile di limite (così come un integrale non dipende dalla variabile d'integrazione, come la somma di una serie non dipende dall'indice, come l'estremo superiore non dipende dalla variabile, etc...).
Ad esempio prendendo $f(x):=x^2$ (e levandoci per un momento davanti agli occhi il simbolo $"d"x$ -o se preferisci, facendo la sostituzione $h="d"x$-):
$lim_(h\to 0) ((x+2h)^2-(x+h)^2)/h=lim_(h\to 0) (2xh+3h^2)/h=2x$
e $2x$ non dipende da $h$.
In generale, se $f$ è derivabile in $x$, si ha:
$lim_(hto 0) (f(x+2h)-f(x+h))/h=lim_(hto 0) (f(x+2h)-f(x))/h - (f(x+h)-f(x))/h$
$\quad =lim_(hto 0) 2*(f(x+2h)-f(x))/(2h) - (f(x+h)-f(x))/h \quad$ (additività del limite e sostituzione $k=2h$)
$\quad =2 lim_(k to 0) (f(x+k)-f(x))/k - lim_(h\to 0) (f(x+h)-f(x))/h$
$\quad =2f'(x)-f'(x)$
$\quad =f'(x)$.
Pagina 3, 1° formula:
"$f^((1))(x)=\ldots =(f(x+"d"x)-f(x))/("d"x)$"
Il limite che fine ha fatto? (Questo appunto vale anche per le successive assenze del simbolo di limite, che non sono poche.)
[OT]
Mi permetto di far notare che il Teorema 1 (Fondamentale del calcolo geometrico discreto) in questi fogli è sbagliato.
Le ipotesi fatte sul domino di $f$ e $g$ non consentono di effettuare i passaggi che servono per acquisire la tesi; in più, il simbolo produttorio non ha senso.
La dimostrazione stessa (che funziona, ma certamente non nelle ipotesi proposte) si può scrivere meglio, senza far intervenire $N$ (che comunque non si sa chi sia... Forse è un fungo?).
Se vuoi imparare a scrivere la Matematica, un buon opuscolo è Halmos, How to Write Mathematics.
[/OT]
"$f^((1))(x+"d"x)=lim_("d"x\to 0) (f(x+2"d"x)-f(x+"d"x))/("d"x)$"
La formula non ha senso, in quanto il valore del limite a secondo membro non dipende dalla variabile di limite (così come un integrale non dipende dalla variabile d'integrazione, come la somma di una serie non dipende dall'indice, come l'estremo superiore non dipende dalla variabile, etc...).
Ad esempio prendendo $f(x):=x^2$ (e levandoci per un momento davanti agli occhi il simbolo $"d"x$ -o se preferisci, facendo la sostituzione $h="d"x$-):
$lim_(h\to 0) ((x+2h)^2-(x+h)^2)/h=lim_(h\to 0) (2xh+3h^2)/h=2x$
e $2x$ non dipende da $h$.
In generale, se $f$ è derivabile in $x$, si ha:
$lim_(hto 0) (f(x+2h)-f(x+h))/h=lim_(hto 0) (f(x+2h)-f(x))/h - (f(x+h)-f(x))/h$
$\quad =lim_(hto 0) 2*(f(x+2h)-f(x))/(2h) - (f(x+h)-f(x))/h \quad$ (additività del limite e sostituzione $k=2h$)
$\quad =2 lim_(k to 0) (f(x+k)-f(x))/k - lim_(h\to 0) (f(x+h)-f(x))/h$
$\quad =2f'(x)-f'(x)$
$\quad =f'(x)$.
Pagina 3, 1° formula:
"$f^((1))(x)=\ldots =(f(x+"d"x)-f(x))/("d"x)$"
Il limite che fine ha fatto? (Questo appunto vale anche per le successive assenze del simbolo di limite, che non sono poche.)
[OT]
Mi permetto di far notare che il Teorema 1 (Fondamentale del calcolo geometrico discreto) in questi fogli è sbagliato.
Le ipotesi fatte sul domino di $f$ e $g$ non consentono di effettuare i passaggi che servono per acquisire la tesi; in più, il simbolo produttorio non ha senso.
La dimostrazione stessa (che funziona, ma certamente non nelle ipotesi proposte) si può scrivere meglio, senza far intervenire $N$ (che comunque non si sa chi sia... Forse è un fungo?).
Se vuoi imparare a scrivere la Matematica, un buon opuscolo è Halmos, How to Write Mathematics.
[/OT]
dx rappresenta il differenziale quindi se accetti che df(x) è f(x+dx)-f(x) allora
deve essere anche
df(x+dx) = f(x+2dx)-f(x+dx)
se non ti convince prova usando un CAS (usa dx=10^-2 altrimenti potrebbero sorgere problemi di approsimazione dalla derivata terza in poi )
scusa ma vista l'ora mi fermo qui. domani manderò un post + dettagliato
I.M.
deve essere anche
df(x+dx) = f(x+2dx)-f(x+dx)
se non ti convince prova usando un CAS (usa dx=10^-2 altrimenti potrebbero sorgere problemi di approsimazione dalla derivata terza in poi )
scusa ma vista l'ora mi fermo qui. domani manderò un post + dettagliato
I.M.
"openIlario":
dx rappresenta il differenziale quindi se accetti che df(x) è f(x+dx)-f(x) allora
deve essere anche
df(x+dx) = f(x+2dx)-f(x+dx)
se non ti convince prova usando un CAS (usa dx=10^-2 altrimenti potrebbero sorgere problemi di approsimazione dalla derivata terza in poi )
La Matematica non si fa usando i CAS, ma dando definizioni precise ed usando un ragionamento logico.
Non si può giocare coi simboli senza seguire alcuna regola e chiamare qual gioco Matematica; non funziona così.
Inoltre, per curiosità, ti sei mai chiesto cosa significhi il $"d"x$ che tanto ti piace? E che cosa sia in realtà il $"d"f$?
Alcune risposte le trovi qui (se ti interessano).
Direi che i "contributi" di openilario e di Ilario980 bastano ed avanzano per chiudere questo post e per bannarlo dal sito.
Qui c'è posto per chi ha idee scorrette in matematica e ha voglia di imparare. Non per chi le vuole insegnare.
I commenti di Gugo82 sono ampiamente sufficienti per mostrare l'ignoranza dell'ABC della matematica, nel contesto in cui questi due utenti lavorano:
Poi, per le regole del forum, avere due account non è permesso.
E inoltre sarebbe il caso di rispondere ai PM mandati dai moderatori.
Ma la ragione prevalente per il ban (definitivo) è quella detta sopra.
Qui c'è posto per chi ha idee scorrette in matematica e ha voglia di imparare. Non per chi le vuole insegnare.
I commenti di Gugo82 sono ampiamente sufficienti per mostrare l'ignoranza dell'ABC della matematica, nel contesto in cui questi due utenti lavorano:
"Gugo82":
Pagina 2, 6° rigo dall'altro:
"$f^((1))(x+"d"x)=lim_("d"x\to 0) (f(x+2"d"x)-f(x+"d"x))/("d"x)$"
La formula non ha senso, in quanto il valore del limite a secondo membro non dipende dalla variabile di limite (così come un integrale non dipende dalla variabile d'integrazione, come la somma di una serie non dipende dall'indice, come l'estremo superiore non dipende dalla variabile, etc...).
[OT]
Mi permetto di far notare che il Teorema 1 (Fondamentale del calcolo geometrico discreto) in questi fogli è sbagliato.
Le ipotesi fatte sul domino di $f$ e $g$ non consentono di effettuare i passaggi che servono per acquisire la tesi; in più, il simbolo produttorio non ha senso.
La dimostrazione stessa (che funziona, ma certamente non nelle ipotesi proposte) si può scrivere meglio, senza far intervenire $N$ (che comunque non si sa chi sia... Forse è un fungo?).
Se vuoi imparare a scrivere la Matematica, un buon opuscolo è Halmos, How to Write Mathematics.
[/OT]
Poi, per le regole del forum, avere due account non è permesso.
E inoltre sarebbe il caso di rispondere ai PM mandati dai moderatori.
Ma la ragione prevalente per il ban (definitivo) è quella detta sopra.
[mod="Fioravante Patrone"]Sblocco temporaneo per consentire all'utente openIlario di replicare.[/mod]
bene,
prima di iniziare premetto che:
1) lo scopo di questo post è chiarire il procedimento che mi porta ad affermare che la derivata n-ma di una funzione è legata alla matrice di Pascal.
2)gli attacchi personali che mi sono stati rivolti sono stati causati da un lapsus nell'utilizzo di una notazione(d'altra parte come avrei potuto scrivere il documento sul calcolo bigeometrico se non mi fosse chiaro il concetto di differenziale?)
3)il documento sui numeri primi è in stato di bozza (ci sono diverse ipotesi che devono essere riviste e un'intera sezione deve essere rimossa in quanto non necessaria per definire la funzione pi-tilde)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Supponiamo di voler calcolare la derivata seconda di f:
"$f^((2))(x)=lim_("d"x1\to 0) (f^((1))(x+"d"x1)-f^((1))(x))/("d"x1)$"
la derivata prima è:
"$f^((1))(x)=lim_("d"x2\to 0) (f(x+"d"x2)-f(x))/("d"x2)$"
quindi la derivata seconda può essere scritta come:
"$f^((2))(x)=lim_("d"x1\to 0) (f^((1))(x+"d"x1)-f^((1))(x))/("d"x1)$="
"$f^((2))(x)=lim_("d"x1\to 0) (lim_("d"x2\to 0)(f(x+"d"x1+"d"x2)-f(x+"d"x1))/("d"x2)-(f(x+"d"x2)-f(x))/("d"x2))*1/("d"x1)"
è realmente necessario utilizzare le variabili dx1 e dx2? in realtà è sufficiente un'unica variabile dx che tende a 0:
"$f^((2))(x)=lim_("d"x\to 0) ((f(x+2"d"x)-f(x+"d"x))/("d"x)- (f(x+"d"x)-f(x))/("d"x) )*1/("d"x)=$"
"$=lim_("d"x\to 0) (f(x+2"d"x)-2f(x+"d"x)+f(x))/("d"x)^2$"
si può dimostrare per induzione che se si ripete il procedimento n volte (derivata n-ma) i coeffiecienti sono dati dall'inversa della matrice triangolare inferiore di Pascal .
I.M.
prima di iniziare premetto che:
1) lo scopo di questo post è chiarire il procedimento che mi porta ad affermare che la derivata n-ma di una funzione è legata alla matrice di Pascal.
2)gli attacchi personali che mi sono stati rivolti sono stati causati da un lapsus nell'utilizzo di una notazione(d'altra parte come avrei potuto scrivere il documento sul calcolo bigeometrico se non mi fosse chiaro il concetto di differenziale?)
3)il documento sui numeri primi è in stato di bozza (ci sono diverse ipotesi che devono essere riviste e un'intera sezione deve essere rimossa in quanto non necessaria per definire la funzione pi-tilde)
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"Gugo82":
Pagina 2, 6° rigo dall'altro:
"$f^((1))(x+"d"x)=lim_("d"x\to 0) (f(x+2"d"x)-f(x+"d"x))/("d"x)$"
La formula non ha senso, in quanto il valore del limite a secondo membro non dipende dalla variabile di limite (così come un integrale non dipende dalla variabile d'integrazione, come la somma di una serie non dipende dall'indice, come l'estremo superiore non dipende dalla variabile, etc...).
Supponiamo di voler calcolare la derivata seconda di f:
"$f^((2))(x)=lim_("d"x1\to 0) (f^((1))(x+"d"x1)-f^((1))(x))/("d"x1)$"
la derivata prima è:
"$f^((1))(x)=lim_("d"x2\to 0) (f(x+"d"x2)-f(x))/("d"x2)$"
quindi la derivata seconda può essere scritta come:
"$f^((2))(x)=lim_("d"x1\to 0) (f^((1))(x+"d"x1)-f^((1))(x))/("d"x1)$="
"$f^((2))(x)=lim_("d"x1\to 0) (lim_("d"x2\to 0)(f(x+"d"x1+"d"x2)-f(x+"d"x1))/("d"x2)-(f(x+"d"x2)-f(x))/("d"x2))*1/("d"x1)"
è realmente necessario utilizzare le variabili dx1 e dx2? in realtà è sufficiente un'unica variabile dx che tende a 0:
"$f^((2))(x)=lim_("d"x\to 0) ((f(x+2"d"x)-f(x+"d"x))/("d"x)- (f(x+"d"x)-f(x))/("d"x) )*1/("d"x)=$"
"$=lim_("d"x\to 0) (f(x+2"d"x)-2f(x+"d"x)+f(x))/("d"x)^2$"
si può dimostrare per induzione che se si ripete il procedimento n volte (derivata n-ma) i coeffiecienti sono dati dall'inversa della matrice triangolare inferiore di Pascal .
I.M.
"openIlario":
2)gli attacchi personali che mi sono stati rivolti sono stati causati da un lapsus nell'utilizzo di una notazione (d'altra parte come avrei potuto scrivere il documento sul calcolo bigeometrico se non mi fosse chiaro il concetto di differenziale?)
"Attacchi personali"?
Vorrei far notare che non la conosco, né ho mai avuto a che fare con lei, perciò non m'interessa attaccarla personalmente.
Però se ha commesso un errore, ha commesso un errore. E farglielo notare correttamente, senza toni astiosi o irriguardosi, non è un "attacco personale" ma un atto dovuto, verso di lei (che può cercare di migliorare i suoi scritti) e verso chi legge (che può fruire di testi migliori).
Per quanto riguarda il Calcolo Bigeometrico, si veda più in fondo.
"openIlario":
3)il documento sui numeri primi è in stato di bozza (ci sono diverse ipotesi che devono essere riviste e un'intera sezione deve essere rimossa in quanto non necessaria per definire la funzione pi-tilde)
Un errore nel primo enunciato di quei fogli rende meno credibile l'intero documento (anche se si tratta di bozza).
Le consiglio di correggerlo, anche perchè è molto facile rimediare all'inconveniente.
"openIlario":
[quote="Gugo82"]Pagina 2, 6° rigo dall'altro:
"$f^((1))(x+"d"x)=lim_("d"x\to 0) (f(x+2"d"x)-f(x+"d"x))/("d"x)$"
La formula non ha senso, in quanto il valore del limite a secondo membro non dipende dalla variabile di limite (così come un integrale non dipende dalla variabile d'integrazione, come la somma di una serie non dipende dall'indice, come l'estremo superiore non dipende dalla variabile, etc...).
Supponiamo di voler calcolare la derivata seconda di f:
"$f^((2))(x)=lim_("d"x1\to 0) (f^((1))(x+"d"x1)-f^((1))(x))/("d"x1)$"
la derivata prima è:
"$f^((1))(x)=lim_("d"x2\to 0) (f(x+"d"x2)-f(x))/("d"x2)$"
quindi la derivata seconda può essere scritta come:
$f^((2))(x)=lim_("d"x1\to 0) (f^((1))(x+"d"x1)-f^((1))(x))/("d"x1) \quad =>$
$f^((2))(x)=lim_("d"x1\to 0) (lim_("d"x2\to 0)(f(x+"d"x1+"d"x2)-f(x+"d"x1))/("d"x2)-(f(x+"d"x2)-f(x))/("d"x2))*1/("d"x1)
è realmente necessario utilizzare le variabili $"d"x1$ e $"d"x2$? in realtà è sufficiente un'unica variabile dx che tende a 0:
$f^((2))(x)=lim_("d"x\to 0) ((f(x+2"d"x)-f(x+"d"x))/("d"x)- (f(x+"d"x)-f(x))/("d"x) )*1/("d"x)=$
$=lim_("d"x\to 0) (f(x+2"d"x)-2f(x+"d"x)+f(x))/("d"x)^2$[/quote]
Cosa c'entrano questi conti con l'uguaglianza che le contestavo (riportata nella sua stessa citazione del mio post precedente)?
Cerchi di rispondere nel merito la prossima volta; anzi, se vuole, cerchi di chiarirmi bene anche questo punto:
"openIlario":
è realmente necessario utilizzare le variabili $"d"x1$ e $"d"x2$? in realtà è sufficiente un'unica variabile dx che tende a 0
(A scanso d'equivoci lo specifico: voglio una dimostrazione di questo fatto; non conti, non simulazioni numeriche. Una semplice dimostrazione.)
***
Intanto ho cominciato a leggiucchiare Calcolo Bigeometrico, trovando altri errori; nel seguito riporto tra virgolette il contenuto del suo testo.
1. Pag. 5, 3° e 4° rigo dal basso: errore terminologico ma subdolo, visto che condiziona il resto:
"$x_1\cdot lambdax_1=lim_(x\to x_1) x \quad \quad \quad$ (*) [il nome alla formula l'ho inserito per necessità, n.d. Gugo82]
intendendo l'uguaglianza per ogni $x$ scelto nella valutazione del limite."
Cosa significa?
Al primo membro di (*) non c'è una funzione di $x$; allo stesso modo (e per il discorso già fatto sull'indipendenza del risultato di un limite dalla variabile) al secondo membro di (*) non c'è una funzione di $x$.
Quella che ha scritto è un'uguaglianza tra numeri reali, nemmeno molto complicata giacché in sostanza si riduce a $x_1*1=x_1$ (visto che $lambdax_1=1$ per la definizione 1).
Però il fatto che $x_1*lambdax_1=x_1$ non viene mai detto esplicitamente nel testo. Perchè?
2. Sempre pag. 5, 2° e 1° rigo dal basso: come annunciato, il ragionamento sbagliato dei due righi precedenti si ripercuote a cascata su quel che segue:
"Ponendo $x_1!=0$ la formula (1) [ossia $lambda(f(x_1))=lim_(x\to x_1) (f(x))/(f(x_1))$, n.d. Gugo82] può essere riscritta nella forma:
$lambda(f(x_1))=(f(x_1*lambdax_1))/(f(x_1))\ .\quad \quad \quad$ (2)"
Questa formula è sbagliata.
L'idea (il pattern, per dirlo all'inglese) che sta dietro questa formula si riconosce a occhio: vuole portare il limite che figura in (1) "dentro" la $f(x)$, ossia sfruttare l'uguaglianza $lim_(x\to x_1) f(x) =f(lim_(x\to x_1) x)$, ed applicare la (*) per scrivere $lim_(x\to x_1) f(x)=f(x_1 lambdax_1)=f(x_1)$ (che poi l'ultimo termine sia uguale a $f(x_1)$ viene taciuto come al solito...).
Ad esempio, prendiamo:
$f(x):=\{(1, ", se " x!=1), (0, ", se " x=1):}$
ed $x_1=1$, la cosa non funziona più ed un occhio allenato non fatica a cogliere perchè.
3. Pag. 7, enunciato del Teorema 5: il concetto di osculatrice bigeometrica non è stato definito da nessuna parte in precedenza. Sarebbe meglio farlo, prima di buttare un "se $g(r)$ è osculatrice bigeometricamente di $f$" nell'enunciato.
Inoltre, a quanto pare la costante $m$ introdotta all'inizio è totalmente dimenticata nel prosieguo dell'enunciato; ciò vuole forse suggerire che per ogni $m!=0$ la funzione $g(r)=m*x^(lnr)$ è "osculatrice bigeometricamente" di $f$ in $x_1$ se $r="derivata bigeom. di "f " in "x_1$? In tal caso avremmo un famiglia di osculatrici, cosa che non leggo da nessuna parte...
4. Pagina 9, enunciato del teorema 6: le ipotesi non sono sufficienti né ad enunciare né a dimostrare il teorema (oppure il teorema stesso manca di una parte... Non so, dovrebbe chiarirmelo lei).
5. Pagina 10, sez. 1.6.2 Esponenzialità e seguente Dimostrazione: segue dalla (2) che abbiamo visto essere sbagliata in generale.
Da segnalare il fatto che le ipotesi necessarie alla dimostrazione delle proprietà di cui alla sezione 1.6 sono omesse; se ne deduce che le uguaglianze debbano valere per ogni funzione e, quindi, esse sono tutte false in generale.
6. Pagina 12, definizione 8: non si tiene conto della dipendenza da $t_0,\ \ldots,\ t_(n-1)$; in generale la (9), scritta così com'è è inaccetabile.
Visto che il documento inizia a pagina 5, la media errori è circa 1 ogni pagina per le prime 7 pagine...
Alcuni errori sono gravi dal punto di vista sostanziale; altri sono (probabilmente) solo omissioni incidentali a cui si può rimediare più o meno facilmente.
Se curati di più, i suoi fogli potrebbero essere interessanti giacché mi risulta che siano possibili curiose applicazioni del calcolo bigeometrico.
D'altra parte, un testo sul calcolo bigeometrico in inglese è reperibile qui su google.
Giusto per capirci:
- l'errore pacchiano segnalato da Gugo82 è declassato a lapsus
- chi ci garantisce che le formule usate per "ridefinire" la derivata seconda siano equivalenti a quella classica?
- per quale motivo al mondo la variabile muta usata per definire le varie derivate deve essere in qualche modo connessa al differenziale?
- direi che i commenti di Gugo82 sul "calcolo bigeometrico" siano più che sufficienti per incoraggiare l'eventuale lettore interessato ad avere un bel po' di diffidenza (a voler essere buoni) nei confronti di quello scritto
[mod="Fioravante Patrone"]Attendo ancora una eventuale controreplica, poi questo thread sarà chiuso definitivamente. Ringrazio moltissimo Gugo82 per la faticaccia fatta (a un'ora impossibile, tra l'altro).[/mod]
- l'errore pacchiano segnalato da Gugo82 è declassato a lapsus
- chi ci garantisce che le formule usate per "ridefinire" la derivata seconda siano equivalenti a quella classica?
- per quale motivo al mondo la variabile muta usata per definire le varie derivate deve essere in qualche modo connessa al differenziale?
- direi che i commenti di Gugo82 sul "calcolo bigeometrico" siano più che sufficienti per incoraggiare l'eventuale lettore interessato ad avere un bel po' di diffidenza (a voler essere buoni) nei confronti di quello scritto
[mod="Fioravante Patrone"]Attendo ancora una eventuale controreplica, poi questo thread sarà chiuso definitivamente. Ringrazio moltissimo Gugo82 per la faticaccia fatta (a un'ora impossibile, tra l'altro).[/mod]
prima di rispondere, ancora una premessa:
nello scambio di mail che c'è stato con gli amministratori per avere il "sacrosanto" diritto di replica, ho specificato che un anno fa (circa) era presente nel forum usa sezione dedicata alla ricerca e che, se questa fosse ancora presente, non avrei postato nel forum di analisi; questo perchè sono ben conscio del fatto che le mie conoscenze matematiche non siano complete e che la mia capacità di formalizzare sia "grezza" (a causa del poco tempo che ho dedicato a tale disciplina - specifico che non ho frequentato corsi universitari).
In particolare voglio precisare che lo scopo dei post non è quello di proporre documenti formali, completi e senza errori, ma proporre il risultato delle mie teorie e, qualora queste possano avere una certa importanza, entrare in contatto con persone che mi possano aiutare (qualora lo vogliano) a formalizzarle e, perchè no, a utilizzarle per ottenere nuovi risultati.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(A scanso d'equivoci lo specifico: voglio una dimostrazione di questo fatto; non conti, non simulazioni numeriche. Una semplice dimostrazione.)
[/quote]
il "$lim_(x\to x1)f(x)$" non dipende dalla velocità con cui x tende a x1, quindi dato che sia x1 che x2 tendono a zero è possibile utilizzare un'unica variabile (es. x1) in entrambe le formule. Questa osservazione dovrebbe essere necessaria a giustificare il passaggio
Per quanto riguarda il documento relativo al calcolo bigeometrico ringranzio per le osservazioni che sono state fatte. In questo post rispondo alla prima domanda (credo che sia corretto spostare la discussione nel thread "https://www.matematicamente.it/forum/integrazione-esponenziale-t27401.html" o aprirne uno nuovo sotto il titolo di "calcolo bigeometrico" nella sezione "Generale")
al lato destro dell'equazione non compare esplicitamente x, ma il differenziale geometrico è il limite per x che tende a x1 di f(x)(in questo caso la variabile è x1, mentre x è la variabile del limite)
"intendendo l'uguaglianza per ogni $x$ scelto nella valutazione del limite". con questa frase intendo dire che se scegliamo un delta e un epilon nella valutazione del limite per il lato sinistro dell'equazione (utilizzando la definizione di limite epsilon,delta)si verifica che:
1)gli stessi epsilon e delta possono essere utilizzati nel lato destro dell'equazione
2)se scegliamo un x tale che |x-x1|
questo per giustificare il pattern citato nel punto 2 che è valido se la funzione è continua (come hai giustamente osservato)
Non ho mai scritto nel testo che $x_1*lambdax_1=x_1$ perchè anche $x_1*(lambdax_1)^2=x_1$; tuttavia lo studio è effettuato su $x_1*lambdax_1=x_1$
<------------------------------------------------------------------------------------------------------------->
è possibile porre g(x)=f'(x); in questo modo si avrebbe:
"$g'(x)=lim_("d"x\to 0) (g(x+"d"x)-g(x))/("d"x)=(f'(x))'=f''(x)$"
ho modificato il documento; non uso più il differenziale, ma solo limiti
vale la premessa fatta all'inizio di questo post
nello scambio di mail che c'è stato con gli amministratori per avere il "sacrosanto" diritto di replica, ho specificato che un anno fa (circa) era presente nel forum usa sezione dedicata alla ricerca e che, se questa fosse ancora presente, non avrei postato nel forum di analisi; questo perchè sono ben conscio del fatto che le mie conoscenze matematiche non siano complete e che la mia capacità di formalizzare sia "grezza" (a causa del poco tempo che ho dedicato a tale disciplina - specifico che non ho frequentato corsi universitari).
In particolare voglio precisare che lo scopo dei post non è quello di proporre documenti formali, completi e senza errori, ma proporre il risultato delle mie teorie e, qualora queste possano avere una certa importanza, entrare in contatto con persone che mi possano aiutare (qualora lo vogliano) a formalizzarle e, perchè no, a utilizzarle per ottenere nuovi risultati.
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"Gugo82":
[quote="openIlario"]è realmente necessario utilizzare le variabili $"d"x1$ e $"d"x2$? in realtà è sufficiente un'unica variabile dx che tende a 0
(A scanso d'equivoci lo specifico: voglio una dimostrazione di questo fatto; non conti, non simulazioni numeriche. Una semplice dimostrazione.)
[/quote]
il "$lim_(x\to x1)f(x)$" non dipende dalla velocità con cui x tende a x1, quindi dato che sia x1 che x2 tendono a zero è possibile utilizzare un'unica variabile (es. x1) in entrambe le formule. Questa osservazione dovrebbe essere necessaria a giustificare il passaggio
Per quanto riguarda il documento relativo al calcolo bigeometrico ringranzio per le osservazioni che sono state fatte. In questo post rispondo alla prima domanda (credo che sia corretto spostare la discussione nel thread "https://www.matematicamente.it/forum/integrazione-esponenziale-t27401.html" o aprirne uno nuovo sotto il titolo di "calcolo bigeometrico" nella sezione "Generale")
"Gugo82":
1. Pag. 5, 3° e 4° rigo dal basso: errore, terminologico ma subdolo, visto che condiziona il resto:
"$x_1\cdot lambdax_1=lim_(x\to x_1) x \quad \quad \quad$ (*) [il nome alla formula l'ho inserito per necessità, n.d. Gugo82]
intendendo l'uguaglianza per ogni $x$ scelto nella valutazione del limite."
Cosa significa?
Al primo membro di (*) non c'è una funzione di $x$; allo stesso modo (e per il discorso già fatto sull'indipendenza del risultato di un limite dalla variabile) al secondo membro di (*) non c'è una funzione di $x$.
Quella che ha scritto è un'uguaglianza tra numeri reali, nemmeno molto complicata giacché in sostanza si riduce a $x_1*1=x_1$ (visto che $lambdax_1=1$ per la definizione 1).
Però il fatto che $x_1*lambdax_1=x_1$ non viene mai detto esplicitamente nel testo. Perchè?
al lato destro dell'equazione non compare esplicitamente x, ma il differenziale geometrico è il limite per x che tende a x1 di f(x)(in questo caso la variabile è x1, mentre x è la variabile del limite)
"intendendo l'uguaglianza per ogni $x$ scelto nella valutazione del limite". con questa frase intendo dire che se scegliamo un delta e un epilon nella valutazione del limite per il lato sinistro dell'equazione (utilizzando la definizione di limite epsilon,delta)si verifica che:
1)gli stessi epsilon e delta possono essere utilizzati nel lato destro dell'equazione
2)se scegliamo un x tale che |x-x1|
questo per giustificare il pattern citato nel punto 2 che è valido se la funzione è continua (come hai giustamente osservato)
Non ho mai scritto nel testo che $x_1*lambdax_1=x_1$ perchè anche $x_1*(lambdax_1)^2=x_1$; tuttavia lo studio è effettuato su $x_1*lambdax_1=x_1$
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"Patrone":
chi ci garantisce che le formule usate per "ridefinire" la derivata seconda siano equivalenti a quella classica?
è possibile porre g(x)=f'(x); in questo modo si avrebbe:
"$g'(x)=lim_("d"x\to 0) (g(x+"d"x)-g(x))/("d"x)=(f'(x))'=f''(x)$"
"Patrone":
- per quale motivo al mondo la variabile muta usata per definire le varie derivate deve essere in qualche modo connessa al differenziale?
ho modificato il documento; non uso più il differenziale, ma solo limiti
"Patrone":
direi che i commenti di Gugo82 sul "calcolo bigeometrico" siano più che sufficienti per incoraggiare l'eventuale lettore interessato ad avere un bel po' di diffidenza (a voler essere buoni) nei confronti di quello scritto
vale la premessa fatta all'inizio di questo post
"openIlario":
nello scambio di mail che c'è stato con gli amministratori per avere il "sacrosanto" diritto di replica, ho specificato che un anno fa (circa) era presente nel forum usa sezione dedicata alla ricerca e che, se questa fosse ancora presente, non avrei postato nel forum di analisi; questo perchè sono ben conscio del fatto che le mie conoscenze matematiche non siano complete e che la mia capacità di formalizzare sia "grezza" (a causa del poco tempo che ho dedicato a tale disciplina - specifico che non ho frequentato corsi universitari).
In particolare voglio precisare che lo scopo dei post non è quello di proporre documenti formali, completi e senza errori, ma proporre il risultato delle mie teorie e, qualora queste possano avere una certa importanza, entrare in contatto con persone che mi possano aiutare (qualora lo vogliano) a formalizzarle e, perchè no, a utilizzarle per ottenere nuovi risultati.
Dato per buono quanto afferma nell'ultimo capoverso, mi chiedo perchè questo suo scopo non sia ben segnalato all'inizio di ogni raccolta di fogli, o sul sito dove raccoglie con tanta cura le sue osservazioni.
Addirittura la raccolta Calcolo Bigeometrico contiene una dedica ed un'introduzione; quindi avrebbe anche potuto prevedere un paragrafetto di Avvertenze.
[mod="Gugo82"]Noi moderatori ed amministratori abbiamo innanzitutto una grossa responsabilità nei confronti di chi legge il forum ed il sito: cercare di divulgare Matematica corretta.
Le sue pagine zeppe di errori e prive delle necessarie "avvertenze", seppure elaborate con intenti nobili, vanno in tutt'altra direzione.
Se vuole continuare ad appoggiarsi a questo forum, o corregge i suoi risultati oppure decide di mettere un paragrafetto di "avvertenze" (in cui spiega, ad esempio, che i risultati sono volutamente non formalizzati etc...).[/mod]
"openIlario":
[quote="Gugo82"]
[quote="openIlario"]è realmente necessario utilizzare le variabili $"d"x1$ e $"d"x2$? in realtà è sufficiente un'unica variabile dx che tende a 0
(A scanso d'equivoci lo specifico: voglio una dimostrazione di questo fatto; non conti, non simulazioni numeriche. Una semplice dimostrazione.)
[/quote]
il "$lim_(x\to x1)f(x)$" non dipende dalla velocità con cui x tende a x1, quindi dato che sia x1 che x2 tendono a zero è possibile utilizzare un'unica variabile (es. x1) in entrambe le formule. Questa osservazione dovrebbe essere necessaria a giustificare il passaggio.[/quote]
Questa non è una dimostrazione.
Valga un controesempio (non si tratta di derivata, ma del semplice calcolo di un limite, ma è lo stesso, visto che lei a quello sembra riferirsi): sia:
$f(x,y):=\{((xy)/(x^2+y^2) , ", se " x!=0 " ed " y!=0),(0, ", se " x=0 " ed " y=0):}$
ed un semplice calcolo mostra che:
$lim_(xto 0) \{ lim_(yto 0) f(x,y)\}=lim_(x\to 0) 0=0$
$lim_(yto 0) \{ lim_(xto 0) f(x,y)\}=lim_(x\to 0) 0=0$
mentre se di prende $x=y$ si ha:
$lim_(xto 0) f(x,x)=lim_(x\to 0) x^2/(2x^2)=1/2$ che è ben diverso da $0$.
Per evitare queste considerazioni le chiedevo una dimostrazione (che non è arrivata, come al solito).
"openIlario":
[quote="Gugo82"]
1. Pag. 5, 3° e 4° rigo dal basso: errore, terminologico ma subdolo, visto che condiziona il resto:
"$x_1\cdot lambdax_1=lim_(x\to x_1) x \quad \quad \quad$ (*) [il nome alla formula l'ho inserito per necessità, n.d. Gugo82]
intendendo l'uguaglianza per ogni $x$ scelto nella valutazione del limite."
Cosa significa?
Al primo membro di (*) non c'è una funzione di $x$; allo stesso modo (e per il discorso già fatto sull'indipendenza del risultato di un limite dalla variabile) al secondo membro di (*) non c'è una funzione di $x$.
Quella che ha scritto è un'uguaglianza tra numeri reali, nemmeno molto complicata giacché in sostanza si riduce a $x_1*1=x_1$ (visto che $lambdax_1=1$ per la definizione 1).
Però il fatto che $x_1*lambdax_1=x_1$ non viene mai detto esplicitamente nel testo. Perchè?
al lato destro dell'equazione non compare esplicitamente x, ma il differenziale geometrico è il limite per x che tende a x1 di f(x) (in questo caso la variabile è x1, mentre x è la variabile del limite)
"intendendo l'uguaglianza per ogni $x$ scelto nella valutazione del limite". con questa frase intendo dire che se scegliamo un delta e un epilon nella valutazione del limite per il lato sinistro dell'equazione (utilizzando la definizione di limite epsilon,delta)si verifica che:
1)gli stessi epsilon e delta possono essere utilizzati nel lato destro dell'equazione
2)se scegliamo un x tale che |x-x1|
questo per giustificare il pattern citato nel punto 2 che è valido se la funzione è continua (come hai giustamente osservato)
Non ho mai scritto nel testo che $x_1*lambdax_1=x_1$ perchè anche $x_1*(lambdax_1)^2=x_1$; tuttavia lo studio è effettuato su $x_1*lambdax_1=x_1$[/quote]
Vabbé, allora se vuole vedere quella uguaglianza come uguaglianza tra limiti deve essere ben conscio che la (*) è una tautologia: infatti essa afferma che $lim_(x\to x_1) x=lim_(x\to x_1)x$.
Quindi è del tutto normale che le coppie $epsilon-delta$ siano le stesse...
Inoltre è abbastanza evidente che se $lambdax_1=1$ allora $(lambdax_1)^2=1$, quindi è ovvio che $x_1*(lambdax_1)^2=x_1$, non serve altro che la definizione di $lambdax_1$ per dimostrarlo.
[mod="Fioravante Patrone"]Ok, direi che basta così.
Chi volesse, ha ampio materiale per formarsi una sua opinione.
Chiudo definitivamente e ringrazio Gugo82 per la pazienza.[/mod]
Chi volesse, ha ampio materiale per formarsi una sua opinione.
Chiudo definitivamente e ringrazio Gugo82 per la pazienza.[/mod]
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