Derivazione sotto segno di integrale

[Rulla1]

Ciao a tutti, stavo cercando di risolvere questo esercizio:
Sia [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] una funzione continua e si ponga
[tex]g(x)=\int_1^2 f(xt)dt[/tex] per ogni x reale

Provare che g è derivabile per ogni x!=0

La teoria degli integrali dipendenti da parametro mi dice che si puó derivare sotto segno di integrale se la funzione integranda è derivabile rispetto alla x, però in questo caso f non è detto che sia derivabile... Come posso fare? Non so bene da dove partire...

[Luca.Lussardi]

Prova a cambiare variabile: $xt=y$.

[Rulla1]

Cavolo sei un genio!! Grazie!

[Rulla1]

[tex]xt=y \rightarrow t=\frac{y}{x} \rightarrow dt = \frac{dy}{x}[/tex]
[tex]\int_1^2 f(xt) dt = \int_x^{2x} \frac{f(y)}{x} dy = \frac{1}{x} \int_x^{2x} f(y) dy[/tex]

[tex]g'(x)=-\frac{1}{x^2} \int_x^{2x} f(y) dy + \frac{1}{x}(f(2x)-f(x))[/tex] quindi g(x) è derivabile per ogni x!=0. Giusto?

[gugo82]

Mi pare giusto.

Domanda bonus: Che succede in [tex]$0$[/tex]?
In altre parole, la funzione [tex]\int_1^2 f(xt)\ \text{d} t[/tex] è derivabile in [tex]$0$[/tex]? Se non lo è sempre, è possibile determinare qualche condizione sufficiente affinché ciò accada?

[Luca.Lussardi]

La conclusione è giusta, ma ho paura che sia stato tagliato via troppo: scrivere $g'=...$ allora $g$ è derivabile non ha molto senso se prima non dimostri che $g$ è derivabile. Le possibilità sono due: o usi il teorema, ma deve essere noto e utilizzabile, che dice che le funzioni della forma $\int_{a(x)}^{b(x)}f(y)dy$ sono derivabili se $a,b$ lo sono e $f$ è continua, e vale la formula per la derivata come hai scritto, oppure va afatto il calcolo a mano della derivata.

[Rulla1]

Grazie, era proprio quello di cui avevo bisogno, mi sembrava azzardata la mia conclusione. Grazie!