Derivazione sotto il segno di integrale
in alcune dimostrazioni che sto studiando, c'è bisogno di calcolare la derivata
$d/{dt}int_{RR^2} |x|^2 f(x,t) dx $ con ovviamente $t in R, x in RR^2$.
la mia perplessità sta nel fatto che io sarei andato a derivare f, poi dato che conosco un'equazione che lega le derivate temporali di f con quelle spaziali avrei integrato per parti passando la derivata su $|x|^2$, eccetera.
invece ciò nelle note che sto studiando, per fare questa derivata si studia prima cosa viene sostituendo a $|x|^2$ una $phi_h$ che tende con sufficiente regolarità a $|x|^2$ quando h tende a 0, e poi si passa al limite.
mi sapreste spiegare perchè c'è bisogno di questo passaggio?
grazie.
$d/{dt}int_{RR^2} |x|^2 f(x,t) dx $ con ovviamente $t in R, x in RR^2$.
la mia perplessità sta nel fatto che io sarei andato a derivare f, poi dato che conosco un'equazione che lega le derivate temporali di f con quelle spaziali avrei integrato per parti passando la derivata su $|x|^2$, eccetera.
invece ciò nelle note che sto studiando, per fare questa derivata si studia prima cosa viene sostituendo a $|x|^2$ una $phi_h$ che tende con sufficiente regolarità a $|x|^2$ quando h tende a 0, e poi si passa al limite.
mi sapreste spiegare perchè c'è bisogno di questo passaggio?
grazie.
Risposte
La funzione $f$ deve essere abbastanza regolare per avere la derivazione sotto il segno di integrale: più precisamente $f$ deve essere sommabile rispetto ad $x$ per ogni $t$, per ogni $x$ la funzione $f$ deve essere derivabile rispetto a $t$ ed infine deve esistere una funzione $g$ sommabile che dipende solo da $x$ tale per cui si abbia $|(\partial f)/(\partial t)(x,t)|\le g(x)$.
lo so, e la mia domanda era un'altra.
supponiamo che f sia abbastanza regolare da farci quello che si vuole, e supponiamo di avere un'equazione che leghi le derivate temporali e quelle spaziali, dipo $partial_t f= nabla f$.
posso scrivere direttamente $d/{dt}int_{RR^2} |x|^2 f(x,t) dx = - int_RR^2 nabla |x|^2 f(x,t)$ o devo procedere per forza con quelle approssimanti $phi_h$ di cui parlavo prima?
supponiamo che f sia abbastanza regolare da farci quello che si vuole, e supponiamo di avere un'equazione che leghi le derivate temporali e quelle spaziali, dipo $partial_t f= nabla f$.
posso scrivere direttamente $d/{dt}int_{RR^2} |x|^2 f(x,t) dx = - int_RR^2 nabla |x|^2 f(x,t)$ o devo procedere per forza con quelle approssimanti $phi_h$ di cui parlavo prima?
Perchè metti il gradiente (che immagino sia rispetto alle varibili spaziali) anche fuori da $|x|^2$?
sì, il gradiente si riferisce solo alle variabili spaziali. ho integrato per parti. aggiungo un passaggio:
$d/{dt}int_{RR^2} |x|^2 f(x,t) dx = int_{RR^2} |x|^2 partial_t f(x,t) dx = int_{RR^2} |x|^2 nablaf(x,t) = - int_{RR^2} nabla |x|^2 f(x,t)$.
formalmente, posso fare questi passaggi o devo usare le $phi_h$?
$d/{dt}int_{RR^2} |x|^2 f(x,t) dx = int_{RR^2} |x|^2 partial_t f(x,t) dx = int_{RR^2} |x|^2 nablaf(x,t) = - int_{RR^2} nabla |x|^2 f(x,t)$.
formalmente, posso fare questi passaggi o devo usare le $phi_h$?
Non capisco la tua integrazione per parti... sarebbe vera se la funzione integranda fosse a supporto compatto... forse è per questo che ci vogliono le $\varphi_h$....
non basta che la funzione integranda tenda a 0 quando $|x| rarr 0$?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo