Derivazione sotto il segno di integrale

[xAlex2]

Salve ragazzi! Ho un esercizio nel quale viene richiesto di calcolare la derivata seconda in 1 dell'integrale scritto sotto.
Non riesco a risolverlo!
Inizialmente ho tentato di integrare per parti, ma non riesco per via di $ e^{t^2} $ , e non penso si possa sfruttare il passaggio di derivazione sotto integrale in quanto le incognite sono inizialmente differenti.


Calcolare $ f'' (1) $ con \[ f(x) = \int _{0}^{3x} e^{t^2}/{(2+t^2)}\ \text{d} t \]


Come risultato viene indicato $ f''(1) =540/121 e^9 $

Qualcuno ha qualche suggerimento da darmi ?

[lucillina1]

Dal teorema di torrecelli (o fondamentale del calcolo):
\[ f'(x)= 3 \frac{ e^{9 x^2} }{2+9 x^2} .\]
Ti basta derivare di nuovo (da qui dovresti saper procedere) e poi calcolare per $x=1$ !

[chisigma]

Dal momento che la x non compare all'interno dell'integrale non si puo' parlare di derivazione sotto il segno di integrale. E' suffciente invece il teorema fondamentale del calcolo per scrivere...

$f^{\ '}(x) = \frac{e^{9\ x^{2}}}{2 + 9 x^{2}}$ (1)

... da cui...

$f^{\ ''}(x)= \frac{18\ x\ e^{9 x^{2}}\ (1 + 9\ x^{2})}{(2 + 9\ x^{2})^{2}}$ (2)

... e pertanto e' $f^{\ ''}(1)= \frac{180}{121}\ e^{9}$...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[Camillo]

Per ottenere la derivata prima cioè $f'(x) $ applica il Teorema fondamentale del calcolo integrale e, poichè l'estremo superiore dell'integrale non è semplicemente $ x $ ma $ 3x $ applica anche la regola di derivazione delle funzioni composte .
Dopodichè deriva ancora e otterrai $f'' (x) $ che poi valorizzi in $x=1 $.

[xAlex2]

Grazie a tutti!