Derivazione in senso distribuzionale
Salve,
vorrei chiedere un aiuto per quanto riguarda la derivazione nel senso delle distribuzioni. Fondamentalmente il mio problema nasce dalla mancanza di esempi ed esercizi a disposizione. Teoricamente si ha che :
<$T (x)_(h')$, $\phi(x)$ > = - <$T (x)_h$, $\phi'(x)$>
ma ho difficoltà ad applicare quanto detto agli esercizi.
Come ad esempio al seguente:
[tex]g(x) = cos((\pi/2)|x|)[/tex] per [tex]|x| < 1[/tex]
[tex]g(x) = 0[/tex] per [tex]|x| \geq 1[/tex]
Sarei molto grata se qualcuno potesse illustrarmi lo svolgimento.
Grazie in anticipo.
vorrei chiedere un aiuto per quanto riguarda la derivazione nel senso delle distribuzioni. Fondamentalmente il mio problema nasce dalla mancanza di esempi ed esercizi a disposizione. Teoricamente si ha che :
<$T (x)_(h')$, $\phi(x)$ > = - <$T (x)_h$, $\phi'(x)$>
ma ho difficoltà ad applicare quanto detto agli esercizi.
Come ad esempio al seguente:
[tex]g(x) = cos((\pi/2)|x|)[/tex] per [tex]|x| < 1[/tex]
[tex]g(x) = 0[/tex] per [tex]|x| \geq 1[/tex]
Sarei molto grata se qualcuno potesse illustrarmi lo svolgimento.
Grazie in anticipo.
Risposte
"flowy":
[tex]g(x) = cos(\pi/2)|x|[/tex] per [tex]|x| < 1[/tex]
Quindi, $g(x)=0$ anche per $|x|<1$.
"speculor":
[quote="flowy"]
[tex]g(x) = cos(\pi/2)|x|[/tex] per [tex]|x| < 1[/tex]
Quindi, $g(x)=0$ anche per $|x|<1$.[/quote]
ho corretto la funzione, anche [tex]|x|[/tex] fa parte dell'argomento del cos
Ok. Comunque, non si capisce la necessità di quel modulo, visto che la funzione è pari. Ma $g(x)$ è la distribuzione?
"speculor":
Ok. Comunque, non si capisce la necessità di quel modulo, visto che la funzione è pari. Ma $g(x)$ è la distribuzione?
in realtà l'esercizio la presenta come "funzione" (da R in C) , ma poi mi chiede di calcolarne la derivata prima e seconda nel senso distribuzionale.
La mia sensazione è che tu debba risolvere l'esercizio utilizzando alcune regole pratiche:
1. Quando la funzione è continua, la derivata in senso distribuzionale coincide con la derivata ordinaria.
2. Quando la funzione ha una discontinuità di prima specie, un salto per intenderci, la derivata distribuzionale si ottiene sommando alla derivata ordinaria tante distribuzioni $C_k\delta(x-x_k)$ quanti sono i punti di discontinuità $x_k$, essendo $C_k$ il valore del salto corrispondente.
Nel tuo caso, mentre la funzione è continua, non lo è la sua derivata: per questo, forse, ti dice di calcolare la derivata seconda. Si potrebbe procedere più rigorosamente impostando gli integrali della definizione, ma dubito che sia questo il tuo caso.
1. Quando la funzione è continua, la derivata in senso distribuzionale coincide con la derivata ordinaria.
2. Quando la funzione ha una discontinuità di prima specie, un salto per intenderci, la derivata distribuzionale si ottiene sommando alla derivata ordinaria tante distribuzioni $C_k\delta(x-x_k)$ quanti sono i punti di discontinuità $x_k$, essendo $C_k$ il valore del salto corrispondente.
Nel tuo caso, mentre la funzione è continua, non lo è la sua derivata: per questo, forse, ti dice di calcolare la derivata seconda. Si potrebbe procedere più rigorosamente impostando gli integrali della definizione, ma dubito che sia questo il tuo caso.
In ogni caso (e questa è una regola generale) prova a capire la definizione su alcuni esempi semplici. Ad esempio, su $RR$, calcola la derivata distribuzionale della funzione di Heaviside (insomma, la funzione caratteristica del semiasse reale positivo): otterrai la $\delta$ di Dirac. Come fare?
Devi semplicemente mostrare che
$< delta, \varphi > = < H, -\varphi' >$ per ogni $varphi \in \mathcal{D}$. (in altre parole, devi fare un integrale.. un po' conti.. e integrando per parti..)
Devi semplicemente mostrare che
$< delta, \varphi > = < H, -\varphi' >$ per ogni $varphi \in \mathcal{D}$. (in altre parole, devi fare un integrale.. un po' conti.. e integrando per parti..)
quindi, perdonami se risulto pedante, come dovrei procedere per il calcolo?
la funzione ha una discontinuità (salto) in 1, giusto?
La funzione di Heaviside sarebbe la funzione gradino unitario? In quel caso sono riuscita a svolgere l'integrale per parti (di cui la parte al "bordo", diciamo così) è nulla in quanto la [tex]\varphi[/tex] è una funzione test, dunque identicamente nulla al di fuori di un certo intervallo. Il problema nasce proprio quando cerco di applicare il metodo ad altri tipi di funzioni, come quella dell'esempio precedente.
Riconosco che è un "bug" personale
.
la funzione ha una discontinuità (salto) in 1, giusto?
La funzione di Heaviside sarebbe la funzione gradino unitario? In quel caso sono riuscita a svolgere l'integrale per parti (di cui la parte al "bordo", diciamo così) è nulla in quanto la [tex]\varphi[/tex] è una funzione test, dunque identicamente nulla al di fuori di un certo intervallo. Il problema nasce proprio quando cerco di applicare il metodo ad altri tipi di funzioni, come quella dell'esempio precedente.
Riconosco che è un "bug" personale
.
"speculor":
Nel tuo caso, mentre la funzione è continua, non lo è la sua derivata.
La tua funzione non ha nessun salto in $1$. Inoltre, se intendi procedere mediante integrali, dovresti almeno specificare l'insieme delle funzioni di prova.
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