Derivazione e convoluzione

[Megan00b]

Vorrei qualche suggerimento su questo esercizio. Io ho dimostrato tante cose ma nessuna di queste mi sembra che concluda.
Intanto la traccia è:
Data $phi (x) = int_RR |x-y|^(1/2) e^-(y^2)dy$ dimostrare che essa è pari, di classe $C^1(RR)$ e calcolare $lim_{x to infty} phi'(x)$

La parità è banale: Scrivo $phi(x)-phi(-x)$ e lo riconduco ad un integrale di una funzione dispari che è quindi 0.
Per il resto, ciò che ho fatto è:

Vedo che la $phi$ sembra una convoluzione., Non lo é propriamente perchè una delle due funzioni coinvolte (quella con il modulo che chiamo f e l'altra la chiamo g) non è $L^1(RR)$. Allora ho pensato di costruire una successione di funzioni $phi_n$ definite dallo stesso integrale fatto tra -n ed n, ovvero come convoluzione di $f_n= f chi_{[-n,n]}$ con $g_n chi_{[-n,n]}$.
Ora qui dovrebbe funzionare tutto per la convoluzione. $f_n$ è $L^1$, $g_n$ è $C^1$ a supporto compatto. La derivata di $phi_n$ è data allora da $f_n$ * $Dg_n$ e $phi_n$ è $C^1$.
Applicando Beppo Levi alle funzioni integrande $f,g,f_n,g_n$ ottengo che effettivamente $phi_n to phi$. OK. Ora chi mi dice che $phi_n' to phi'$?

Ho provato altre strade ma su di esse mi fermo praticamente subito.
Grazie.

[gugo82]

Le tue integrande sono funzioni $C^oo$... Sicuro che non si possa fare una banalissima (da Analisi II) derivazione sotto integrale?

Se fai un cambio di variabile $z=x-y$ non ne cavi nulla a livello di rapporto incrementale?