Derivazione di integrali alla Lebesgue
Sono sempre alle prese con questi simpatici esercizi di teoria della misura e come sempre da qualche parte prima o poi mi pianto.
L'esercizio riporta la seguente richiesta:
Sia $f:R \rightarrow R$ una funzione assolutamente continua sopra ogni sottointervallo compatto in R.Si provi che:
\(\displaystyle \frac{d}{dy}\int_a^b f(x+y)dx=\int_a^b f'(x+y)dx \)
per ogni y appartenente a R.
Ora io ho pensato che se f è assolutamente continua su ogni sottointervallo compatto, la traslazione $f(x+y)$ è ancora assolutamente sopra ogni intervallo compatto.Questo mi sembra non ci sia bisogno di dimostrarlo, secondo voi?
A questo punto ho provato ad applicare il teorema fondamentale ma non ho ottenuto granchè:
\(\displaystyle f(b)=f(a)+\int_a^b f'(x+y)dx \) ho anche considerato che derivare rispetto a x o ad y la funzione $f(x+y)$ è invariante ed è uguale alla derivata $f'(x)$.
Però nessuna di queste osservazioni mi ha suggerito una via, ho provato anche ad applicare il teorema di Lagrange essendo comunque f continua.
Non ho cercato di usare i risultati sulle derivazioni sotto il segno di integrale perchè mi sembra di avere realtivamente troppe poche informazioni sulla mia funzione e meno ancora sulla sue derivata per tentare qualsiasi dominazione o simile.
Qualcuno ha qualche idea?
L'esercizio riporta la seguente richiesta:
Sia $f:R \rightarrow R$ una funzione assolutamente continua sopra ogni sottointervallo compatto in R.Si provi che:
\(\displaystyle \frac{d}{dy}\int_a^b f(x+y)dx=\int_a^b f'(x+y)dx \)
per ogni y appartenente a R.
Ora io ho pensato che se f è assolutamente continua su ogni sottointervallo compatto, la traslazione $f(x+y)$ è ancora assolutamente sopra ogni intervallo compatto.Questo mi sembra non ci sia bisogno di dimostrarlo, secondo voi?
A questo punto ho provato ad applicare il teorema fondamentale ma non ho ottenuto granchè:
\(\displaystyle f(b)=f(a)+\int_a^b f'(x+y)dx \) ho anche considerato che derivare rispetto a x o ad y la funzione $f(x+y)$ è invariante ed è uguale alla derivata $f'(x)$.
Però nessuna di queste osservazioni mi ha suggerito una via, ho provato anche ad applicare il teorema di Lagrange essendo comunque f continua.
Non ho cercato di usare i risultati sulle derivazioni sotto il segno di integrale perchè mi sembra di avere realtivamente troppe poche informazioni sulla mia funzione e meno ancora sulla sue derivata per tentare qualsiasi dominazione o simile.
Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Puoi partire da
\[
\int_a^b f(x+y)\, dx = \int_{a+y}^{b+y} f(x) \, dx = F(b+y) - F(a+y),
\]
dove \(F(x) := \int_a^b f(t) dt\).
\[
\int_a^b f(x+y)\, dx = \int_{a+y}^{b+y} f(x) \, dx = F(b+y) - F(a+y),
\]
dove \(F(x) := \int_a^b f(t) dt\).
Domanda:
La funzione F che hai definito non sarebbe $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ invece che avere b come estremo superiore?
Fino a qua ero arrivata anche io ma poi non riuscivo a vedere nessuno sbocco.
$\int_a^b f(x+y)dx=\int_{a+y}^{b+y}f(x)dx=F(b+y)-F(a+y).$
L'ultima parte per la continuità assoluta.
Ora se calcolo la derivata:
$\frac{d}{dy}\int_a^bf(x+y)dx=\frac{d}{dy}(F(b+y)-F(a+y))=f(b+y)-f(a+y)=\int_{a+y}^{b+y} f'(x)dx=\int_a^b f'(x+y)dx$ ma ha senso questa catena di uguaglianze, la derivazione rispetto ad y le verie integrazioni?Perchè mi lasciavano perplessa.
La funzione F che hai definito non sarebbe $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ invece che avere b come estremo superiore?
Fino a qua ero arrivata anche io ma poi non riuscivo a vedere nessuno sbocco.
$\int_a^b f(x+y)dx=\int_{a+y}^{b+y}f(x)dx=F(b+y)-F(a+y).$
L'ultima parte per la continuità assoluta.
Ora se calcolo la derivata:
$\frac{d}{dy}\int_a^bf(x+y)dx=\frac{d}{dy}(F(b+y)-F(a+y))=f(b+y)-f(a+y)=\int_{a+y}^{b+y} f'(x)dx=\int_a^b f'(x+y)dx$ ma ha senso questa catena di uguaglianze, la derivazione rispetto ad y le verie integrazioni?Perchè mi lasciavano perplessa.
Certo che ha senso, dal momento che \(f\) è assolutamente continua (l'assoluta continuità la usi nel penultimo passaggio che hai scritto).
Perfetto, grazie mille.
Solo semplificarlo col cambio di variabili ha cambiato completamente.Come diceva un mio professore: la notazione il più delle volte uccide.
Grazie ancora.
Solo semplificarlo col cambio di variabili ha cambiato completamente.Come diceva un mio professore: la notazione il più delle volte uccide.
Grazie ancora.
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