Derivazione composta in vecchia discussione
Stavo leggendo una vecchia discussione che mi ha incuriosito e non ho capito un passaggio
la domanda è su questo testo:
la risposta è
ora se come si dice qui io avessi $vecx=(x_1,x_2,....,x_n)$ e $vecx(t)=(x_1t,x_2t,....,x_nt)$ a parte che non capisco la notazione $vecx(t)=vecxt$ perché questa non è una funzione di t, è come se dicessi x funzione di t è x moltiplicato t, ok ma x è da intendersi come costante o come funzione?
Al massimo potrebbe essere: $vecx(t)=(x_1'(t)t,x_2'(t)t,....,x_n'(t)t)$ nel senso che ogni x' è una funzone di t a sua volta?
Oppure probailemnte intende $(x_1t,x_2t,....,x_nt)$ dove gli $x_i$ sono costanti e quindi $x_i(t)=x_i*t$ è solo un modo per dire che $x_i(t)$ è la funzione di una costante per t. Quindi potrei scrivere: $vecx(t)=(k_1t,k_2t,....,k_nt)$ (*)
Lo chiedo perché mi confonde quando va a scrivere $(partialf)/(partialx_1)*(partialx_1(t))/(partialt)+...=(partialf)/(partialx_1)*x_1+...$ perché quell' $x_1$ a moltiplicare dell'ultimo membro mi confonde perché è anche la "funzione" che sfrutto per derivare in modo composto cioè $partialx_1$. Mentre secondo me $x_1$ è una costante.
insomma con la mia notazione sarebbe: $(partialf)/(partialx_1)*(partialx_1(t))/(partialt)+...=(partialf)/(partialx_1)*k_1+...$
E' corretto? Mi potreste aiutare per favore?
Riferimento: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=236453
la domanda è su questo testo:
la risposta è
"Brufus":
Se $x \in \mathbb R^n$ allora distinguilo con $\mathbf x$ ovverosia $\mathbf x=(x_1,x_2,....,x_n)$ dove $x_i \in \mathbb R$.
Allora applicando il teorema di derivazione di funzione composta $\frac{d}{dt}f(\mathbf x(t))= \frac{\partial}{\partial x_1}f(\mathbf x(t)) \cdot \frac{d}{dt} x_1(t)+.......+\frac{\partial}{\partial x_n}f(\mathbf x(t)) \cdot \frac{d}{dt} x_n(t) $
Ora nel tuo caso $\mathbf x(t)=\mathbf x \star t$ dove la stella rappresenta la moltiplicazione tra scalare e vettore nello spazio vettoriale cioè $\mathbf x(t)=\mathbf x \star t=(t\cdot x_1,.......,t\cdot x_n)$.
Adesso prova a rileggere quella formula scritta in modo pressapochista dall'autore senza indicare in grassetto i vettori numerici e tutto dovrebbe chiarirsi
ora se come si dice qui io avessi $vecx=(x_1,x_2,....,x_n)$ e $vecx(t)=(x_1t,x_2t,....,x_nt)$ a parte che non capisco la notazione $vecx(t)=vecxt$ perché questa non è una funzione di t, è come se dicessi x funzione di t è x moltiplicato t, ok ma x è da intendersi come costante o come funzione?
Al massimo potrebbe essere: $vecx(t)=(x_1'(t)t,x_2'(t)t,....,x_n'(t)t)$ nel senso che ogni x' è una funzone di t a sua volta?
Oppure probailemnte intende $(x_1t,x_2t,....,x_nt)$ dove gli $x_i$ sono costanti e quindi $x_i(t)=x_i*t$ è solo un modo per dire che $x_i(t)$ è la funzione di una costante per t. Quindi potrei scrivere: $vecx(t)=(k_1t,k_2t,....,k_nt)$ (*)
Lo chiedo perché mi confonde quando va a scrivere $(partialf)/(partialx_1)*(partialx_1(t))/(partialt)+...=(partialf)/(partialx_1)*x_1+...$ perché quell' $x_1$ a moltiplicare dell'ultimo membro mi confonde perché è anche la "funzione" che sfrutto per derivare in modo composto cioè $partialx_1$. Mentre secondo me $x_1$ è una costante.
insomma con la mia notazione sarebbe: $(partialf)/(partialx_1)*(partialx_1(t))/(partialt)+...=(partialf)/(partialx_1)*k_1+...$
E' corretto? Mi potreste aiutare per favore?
Riferimento: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=236453
Risposte
Certo $mathbf(x)(t) = t* mathbf(x) = (tx_1, tx_2, ... tx_n)$ con $mathbf(x)=(x_1,x_2,...,x_n) in RR^n$ costante e fissato (non ti consiglio di cambiare nome alle coordinate di $mathbf(x)$; sarebbe meglio se ti abituassi a discernere dal contesto quando fa comodo considerare un certo vettore/numero come una variabile o quando lo stai fissando per fare i calcoli rispetto ad un'altra variabile).
La linea di ragionamento è questa:
\[
\begin{align*}
f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{0}) &= f(1\cdot \mathbf{x}) - f(0\cdot \mathbf{x}) & &\text{(proprietà del prodotto per lo scalare)}\\
&= \int_0^1 \frac{\text{d}}{\text{d} t} \big[ f(t\cdot \mathbf{x})\big]\ \text{d} t & &\text{(Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale)}\\
&= \int_0^1 \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \big[ f(t\cdot \mathbf{x})\big] \cdot \frac{\text{d}}{\text{d} t} \big[ tx_i\big]\right)\ \text{d} t & &\text{(derivazione della funzione composta)}\\
&= \int_0^1 \left(\sum_{i=1}^n x_i\cdot \frac{\partial}{\partial x_i} \big[ f(t\cdot \mathbf{x})\big]\right)\ \text{d} t & &\text{(calcolo della derivata interna)}\\
\end{align*}
\]
etc...
La linea di ragionamento è questa:
\[
\begin{align*}
f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{0}) &= f(1\cdot \mathbf{x}) - f(0\cdot \mathbf{x}) & &\text{(proprietà del prodotto per lo scalare)}\\
&= \int_0^1 \frac{\text{d}}{\text{d} t} \big[ f(t\cdot \mathbf{x})\big]\ \text{d} t & &\text{(Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale)}\\
&= \int_0^1 \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \big[ f(t\cdot \mathbf{x})\big] \cdot \frac{\text{d}}{\text{d} t} \big[ tx_i\big]\right)\ \text{d} t & &\text{(derivazione della funzione composta)}\\
&= \int_0^1 \left(\sum_{i=1}^n x_i\cdot \frac{\partial}{\partial x_i} \big[ f(t\cdot \mathbf{x})\big]\right)\ \text{d} t & &\text{(calcolo della derivata interna)}\\
\end{align*}
\]
etc...
Chiarissimo grazie mille. Seguirò il tuo consiglio di prender maggiore dimestichezza.
Solo una piccola domanda: il teorema del calcolo integrale mi è chiaro, però mi chiedevo dovrebbe essere in 1-D diciamo, ma qui poi lo sfrutta in 1-D per poi usarlo con sommatoria (quindi sono su 3-D).
In sostanza sfrutta il rucchetto di usare il teorema sul vettore come fosse uno scalare, però poi si ricorda che è un vettore e da lì prosegue con la trattazione con sommatoria. Ma perché può applicarlo a un vettore?
Non ho capito a fondoquesto passaggio.
Solo una piccola domanda: il teorema del calcolo integrale mi è chiaro, però mi chiedevo dovrebbe essere in 1-D diciamo, ma qui poi lo sfrutta in 1-D per poi usarlo con sommatoria (quindi sono su 3-D).
In sostanza sfrutta il rucchetto di usare il teorema sul vettore come fosse uno scalare, però poi si ricorda che è un vettore e da lì prosegue con la trattazione con sommatoria. Ma perché può applicarlo a un vettore?
Non ho capito a fondoquesto passaggio.
Guarda che stai integrando una funzione di una variabile, la $t$.
Volevo rimangiarmi la scemata detta ma mi hai già corretto.
Più che altro quello che volevo dire è che integravo: $int d/(dt)f(tx_1,...,tx_n)dt$ quindi non era tanto che passavo da una a piu variabili come dicevo prima ma che la funzone aveva per argomento un vettore e mi lasciava dubbioso su come si lavorasse in questo caso.
Grazie
Più che altro quello che volevo dire è che integravo: $int d/(dt)f(tx_1,...,tx_n)dt$ quindi non era tanto che passavo da una a piu variabili come dicevo prima ma che la funzone aveva per argomento un vettore e mi lasciava dubbioso su come si lavorasse in questo caso.
Grazie
Volevo provare a chiarire meglio il dubbio dato che vedo che non sono stato chiarissimo mi sa
Come mi facevi notare io integro una funzione in una variabile t, però integro una funzine che ha per argomento un vettre e credo mi confonda sul perché posso apprivare il teorema del calcolo, infatti esso vale per f(t) ma io ho $int d/(dt)f(tx_1,...,tx_n)dt$. Credo di essermi impallato.
Come mi facevi notare io integro una funzione in una variabile t, però integro una funzine che ha per argomento un vettre e credo mi confonda sul perché posso apprivare il teorema del calcolo, infatti esso vale per f(t) ma io ho $int d/(dt)f(tx_1,...,tx_n)dt$. Credo di essermi impallato.
"gugo82":
Guarda che stai integrando una funzione di una variabile, la $t$.
Ok allora ti prego di perdonarmi perché pensavo di aver capito ma non mi ero capito XD e non ho compreso un tubero.
io ho capito che sto integrando $f(tvecx)$ quindi è una funzione di t, però $t(x_1,...,x_n)=(tx_1,...,tx_n)$, quindi si io integro solo su t e questo mi è chiaro, ma la funzione ha un argomento "spezzettato" e questa cosa mi impalla.
Perché $f(tx)$ classica comprendo che ho per argomento $xt$ e quindi nessun problema, ma $f(tx_1,...,tx_n)$ mi scombussola nell'integrazione.
io ho capito che sto integrando $f(tvecx)$ quindi è una funzione di t, però $t(x_1,...,x_n)=(tx_1,...,tx_n)$, quindi si io integro solo su t e questo mi è chiaro, ma la funzione ha un argomento "spezzettato" e questa cosa mi impalla.
Perché $f(tx)$ classica comprendo che ho per argomento $xt$ e quindi nessun problema, ma $f(tx_1,...,tx_n)$ mi scombussola nell'integrazione.
Il problema è che non ti hanno insegnato cosa fare quando si presentano incomprensioni simili... Il che, invece, dovrebbe essere un bagaglio in uscita dalle superiori.
Quello che devi fare è farti un esempio (scemo, ma non troppo) per chiarirti la situazione.
Comincio io.
Prendi ad esempio:
\[
f(\mathbf{x}) := \frac{x_1^2 + 3x_2 x_3}{x_2 + x_1 - x_3}\; ;
\]
com'è fatta la legge di assegnazione di $f(t mathbf(x))$?
Riconosci che, per $mathbf(x)$ fissato, $f(t mathbf(x))$ è una "normalissima" funzione di $t$?
Quello che devi fare è farti un esempio (scemo, ma non troppo) per chiarirti la situazione.
Comincio io.
Prendi ad esempio:
\[
f(\mathbf{x}) := \frac{x_1^2 + 3x_2 x_3}{x_2 + x_1 - x_3}\; ;
\]
com'è fatta la legge di assegnazione di $f(t mathbf(x))$?
Riconosci che, per $mathbf(x)$ fissato, $f(t mathbf(x))$ è una "normalissima" funzione di $t$?
Mi sache hai ragionissima, sono scemo come l'esempio!
In sostanza:
\[
f(\mathbf{x}) = f(x_1,...,x_n) = \frac{x_1^2 + 3x_2 x_3}{x_2 + x_1 - x_3}\; ;
\]
Quindi risponderei alla tua domanda con: $f(t\mathbf{x}) = f(tx_1,...,tx_n) ={x_1^2t^2 + 3x_2 x_3t^2}/{x_2t + x_1t - x_3t}$ (?)
Che dovrebbe dirci che in effetti dipende solo da t, ovviamente poi posso andare a semplificare le varie t, ma già così si vede che dipendendo da $t^2$ e t quindi il tutto è in funzione di t e sue potenze e si può integrare in dt "alla normale".
In sostanza:
\[
f(\mathbf{x}) = f(x_1,...,x_n) = \frac{x_1^2 + 3x_2 x_3}{x_2 + x_1 - x_3}\; ;
\]
Quindi risponderei alla tua domanda con: $f(t\mathbf{x}) = f(tx_1,...,tx_n) ={x_1^2t^2 + 3x_2 x_3t^2}/{x_2t + x_1t - x_3t}$ (?)
Che dovrebbe dirci che in effetti dipende solo da t, ovviamente poi posso andare a semplificare le varie t, ma già così si vede che dipendendo da $t^2$ e t quindi il tutto è in funzione di t e sue potenze e si può integrare in dt "alla normale".
Certo.
La morale generale è: quando non capisci una cosa, un concetto, un passaggio, prova a fare un esempio concreto.
La morale generale è: quando non capisci una cosa, un concetto, un passaggio, prova a fare un esempio concreto.
Graziee gugo82, davvero grazie mille . Ti ascolterò!
. Ti ascolterò!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo