Derivazione agli estremi del dominio

[MaxwellD]

Ho un dubbio credo abbastanza sciocco, ma vorrei comunque una conferma da voi
Se ho una funzione definita e continua in \(\displaystyle [a, b] \), può esistere la derivata prima della funzione in \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) oppure se è derivabile, lo è in \(\displaystyle (a, b) \) ?

Se non può, non ha nemmeno senso per esempio lo sviluppo di Taylor in \(\displaystyle a \) ?

EDIT: Se la risposta fosse negativa, potreste scendere un pò nei dettagli? Perchè in \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) non definisco la derivata come limite del rapporto incrementale solo da sinistra o da destra, per x che tende a in \(\displaystyle a \) o \(\displaystyle b \) ?

[Noisemaker]

i teoremi relativi alle funzioni definite sui compatti, cioè su intervalli chiusi e limitati del tipo $[a,b],$ richiedono la derivabilità almeno sull'aperto, cioè su $(a,b);$ se poi la funzione risulta derivabile anche agli estremi, ben venga non ci da sicuramente fatidio! Certo è che agli estremi devi verificare se effettivamente risulta derivabile.

[Brancaleone1]

Esatto.
Prendi ad esempio la funzione $f(x)=sqrt(x^3)$ che è definita in $[0,+oo)$.
Sicuramente è derivabile in $(0,+oo)$, mentre in $x_0=0$ la derivabilità va controllata con il teorema del limite della derivata:

$d/(dx)sqrt(x^3)=(3x^2)/(2sqrt(x^2))$

$lim_(x->0) (3x^2)/(2sqrt(x^2))=0$

$=>f(x)$ è derivabile anche in $x_0=0$

Prendi invece ora la funzione $g(x)=sqrtx$
E' derivabile in $(0,+oo)$, e controllando in $x_0=0$ con il teorema del limite della derivata:

$d/(dx)sqrt(x)=1/(2sqrtx)$

$lim_(x->0)1/(2sqrtx)=+oo$

$=>g(x)$ non è derivabile in $x_0=0$

[MaxwellD]

Grazie mille a entrambi, ora mi è tutt molto chiaro