Derivate uguali => qualcosa?
Ciao dopo una lunga mia assenza sul forum!
Oggi, durante una chiacchierata con un mio amico fisico, ci siamo fatti questa domanda. Probabilmente è semplice, ma non sono riuscito a rispondere..
E' ovvio che: data $f : RR^2 \to RR$ $f(x,y)=g(x+y)$ per $g$ opportunamente regolare, si ha $(\partial f)/(\partial x) = (\partial f)/(\partial y)$ in ogni punto.
E' possibile il viceversa? Cioè:
data $f:RR^2 \to RR$ (non saprei quale regolarità richiedere), supponiamo che $(\partial f)/(\partial x) = (\partial f)/(\partial y)$ in ogni punto.
Cosa possiamo dire sulla $f$? Esiste $g$ tale che $f(x,y)=g(x+y)$?
Oggi, durante una chiacchierata con un mio amico fisico, ci siamo fatti questa domanda. Probabilmente è semplice, ma non sono riuscito a rispondere..
E' ovvio che: data $f : RR^2 \to RR$ $f(x,y)=g(x+y)$ per $g$ opportunamente regolare, si ha $(\partial f)/(\partial x) = (\partial f)/(\partial y)$ in ogni punto.
E' possibile il viceversa? Cioè:
data $f:RR^2 \to RR$ (non saprei quale regolarità richiedere), supponiamo che $(\partial f)/(\partial x) = (\partial f)/(\partial y)$ in ogni punto.
Cosa possiamo dire sulla $f$? Esiste $g$ tale che $f(x,y)=g(x+y)$?
Risposte
Se chiami $v=(1, -1)$, stai richiedendo
$D_v f=0$
($D_v$ indica la derivata direzionale). Ciò significa che, passando alle coordinate
${(u=x+y), (v=x-y):}$
e indicando con $F(x+y, x-y)=f(x, y)$, la funzione $F$ deve dipendere solo da $u$. Perciò $f(x, y)=F(x+y)$, come volevi tu.
$D_v f=0$
($D_v$ indica la derivata direzionale). Ciò significa che, passando alle coordinate
${(u=x+y), (v=x-y):}$
e indicando con $F(x+y, x-y)=f(x, y)$, la funzione $F$ deve dipendere solo da $u$. Perciò $f(x, y)=F(x+y)$, come volevi tu.
Era più semplice del previsto.
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Detto in altre parole, basta risolvere la EDP lineare del primo ordine [tex]$f_x-f_y=0$[/tex]; ciò si può fare col metodo delle caratteristiche.
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