Derivate successive funzioni in più variabili

[RP-1]

Buongiorno a tutti,

sia $f:RR^n->RR$, è corretto definire la matrice hessiana associata ad $f$ come la derivata seconda di $f$? Fin'ora ho sempre utilizzato l'hessiano per calcolare punti estremanti, dunque non mi ero mai posto il problema. Adesso, dovendo definire il polinomio di Taylor n-esimo, ho notato che al secondo ordine di sviluppo compare proprio $H_f$, dunque suppongo coincida appunto con il secondo ordine di derivazione di una funzione definita in $RR^n$, sbaglio?
Chiaramente conosco bene la definizione di hessiano, ma il mio docente non ha mai dato un senso pratico a tale definizione.

Grazie a tutti in anticipo!

[dissonance]

Si, è così. Per tutte le funzioni, la derivata prima è una forma lineare, la derivata seconda è una forma bilineare, la terza è trilineare e così via. Se ti piacciono i tensori, puoi usarli per interpretare questo fatto. È una cosa generale, funzionano così le derivate su \(\mathbb R^n\) (e sulle varietà differenziabili).

Per funzioni di una sola variabile è lo stesso, ma su uno spazio di dimensione uno tutte queste forme sono essenzialmente la stessa cosa, per questo non si vede la differenza.

[RP-1]

Quindi l'ordine di derivazione coincide con l'ordine del tensore che ottengo appunto calcolando la derivata?

[dissonance]

Risponditi da solo, pensaci un po', scrivi qualche formula. Poi la commentiamo.