Derivate seconde parziali

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14 gen 2011, 21:00

Ciao a tutti!

mi sto scervellando in tutti i modi, ed ho cercato su diversi libri ed online la soluzione ma niente... è evidente che mi sfugge qualche passaggio...

la funzione che porto da esempio (ho appena iniziato a studiare Analisi 2, per cui una vale l'altra... l'importante è che io capisca il concetto) è questa:

$ f(x,y,z) = ze^(xy^2) + cos(xyz^2)$

ora il punto è: devo calcolarmi le derivate parziali seconde... diciamo che le prime mi sono (quasi

) chiare.

sto seguendo questo esercizio su alcuni appunti di cui metto una foto

http://img502.imageshack.us/f/sam0513.jpg/

ho incorniciato un passaggio tipo... io non capisco... se la derivata ∂y∂z significa fare la derivata ∂y della derivata precedentemente calcolata ∂x perchè la derivata totale al primo passaggio ha 4 addendi? non dovrebbe averne due seguendo la regola della derivata di sottrazione di funzioni che è la derivata della prima meno la derivata della seconda?

e poi...

considerando tutto l'esercizio, sono svolte 4 derivate seconde parziali e cioè: ∂x∂y, ∂y∂x, ∂x∂z, ∂z∂x

ora la mia domanda è: teoricamente non dovrebbero essere 9 di cui 3 trascurabili poichè 6 sono uguali a due a due e cioè:

∂x∂y, ∂y∂x, ∂x∂z, ∂z∂x, ∂y∂z, ∂z∂y, ∂x∂x, ∂y∂y, ∂z∂z da cui converrebbe calcolare ∂x∂y, ∂x∂z, ∂y∂z + le ultime tre..

sbaglio?

grazie in anticipo..

Michele

Risposte

Zilpha

14 gen 2011, 20:17

"mikelozzo":

se la derivata ∂y∂z significa fare la derivata ∂y della derivata precedentemente calcolata ∂x

ciao...
innanizutto forse volevi scrivere ∂y∂x, questa scrittura indica che fai la derivata rispetto ad $x$ di $ (del^f)/(dely)$, ossia $ (del^2f)/(delydelx) $ che in generale è diversa da $ (del^2f)/(delxdely) $, a meno che non ci si trovi, (come in questo caso), nelle ipotesi in cui vale il teorema di Schwarz e quindi le derivate seconde miste coincidano.
Poi è normale che ci siano 4 addendi, perchè devi considerare anche la derivata del prodotto, in quanto ciascuno addendo è costituito dal prodotto di due funzioni.

mikelozzo

15 gen 2011, 10:08

se la derivata ∂y∂z significa fare la derivata ∂y della derivata precedentemente calcolata ∂x

ciao...
innanizutto forse volevi scrivere ∂y∂x, questa scrittura indica che fai la derivata rispetto ad $x$ di $ (del^f)/(dely)$, ossia $ (del^2f)/(delydelx) $ che in generale è diversa da $ (del^2f)/(delxdely) $...

sisi.. scusa.. avevo scritto precedentemente bene la formula ma non me la dava cosi l'ho riscritta in maniera semplice ma, senza accorgermene ho scritto la "z" al posto di "x"...

comunque.. quindi se devo considerare la derivata del prodotto allora lo schema (in maniera semplice) dovrebbe essere cosi:

$f(...)= ab + cd$ con a,b,c,d funzioni

$del^2(...)= [a'b + ab'] + [c'd + cd']$ giusto?