Derivate seconde funzione - variabili n-dimensionali

[ronti1]

Ciao a tutti,

Data la seguente funzione:

$f(x,y,t)= exp (-(3t^2(|x|^2+|y|^2)+ (2t^7 ) + 8t^9))$

Dovrei calcolare:

$g(x,y)= (partial^2f)/(partial x^2) + (partial^2f)/(partial y^2)$

Se $x$ e $y$ fossero variabili unidimensionali, non avrei nessun problema ad effettuare questo calcolo.
Tuttavia sul testo leggo scritto che:

$x in RR^n$ e che $y in RR^n$

Non saprei come muovervi.
Ad esempio, essendo $y$ n-dimensionale, ciò vorrebbe dire che:

$|y|= sqrt(y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2)$

Chiaramente saprei scrivere $(partial^2|y|)/(partial y_i^2)$ per ogni $i in {1,2, ..., n}$ ,
tuttavia non capisco cosa significhi fare $(partial^2|y|)/(partial y^2)$ , essendo $y$ n-dimensionale.

Qualcuno potrebbe fornirmi qualche delucidazione?
(Probabilmente sto facendo delle domande stupide e mi sto perdendo in un bicchier d'acqua)

[gugo82]

Hai provato a guardare bene sul testo? Se ad un certo punto usa una notazione, dovrebbe averla già introdotta prima...

[ronti1]

È un eserciziario di un professore, purtroppo non ho trovato nessuna delucidazione al riguardo.

[dissonance]

"ronti":Ciao a tutti,

Data la seguente funzione:

$f(x,y,t)= exp (-(3t^2(|x|^2+|y|^2)+ (2t^7 ) + 8t^9))$

Dovrei calcolare:

$g(x,y)= (partial^2f)/(partial x^2) + (partial^2f)/(partial y^2)$

Se $x$ e $y$ fossero variabili unidimensionali, non avrei nessun problema ad effettuare questo calcolo.
Tuttavia sul testo leggo scritto che:

$x in RR^n$ e che $y in RR^n$

Non saprei come muovervi.
Ad esempio, essendo $y$ n-dimensionale, ciò vorrebbe dire che:

$|y|= sqrt(y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2)$

Chiaramente saprei scrivere $(partial^2|y|)/(partial y_i^2)$ per ogni $i in {1,2, ..., n}$ ,
tuttavia non capisco cosa significhi fare $(partial^2|y|)/(partial y^2)$ , essendo $y$ n-dimensionale.

Qualcuno potrebbe fornirmi qualche delucidazione?
(Probabilmente sto facendo delle domande stupide e mi sto perdendo in un bicchier d'acqua)

Cosí com'è scritto non significa niente. Forse intende il Laplaciano \(\partial_{x_1}^2+\ldots+\partial_{x_n}^2\) e analogamente per \(y\). Il risultato di \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\) è uno scalare o un vettore o una matrice? Se è uno scalare, quasi sicuramente è il Laplaciano.