Derivate prime parziali continue
ciao volevo sapere se questa funzione
$f: R^3 \to RR f:sqrt(x^6+y^4+z^4)$ ha derivate parziali continue in $(0,0,0)$
per esempio $f_x=(3x^5)/(sqrt(x^6+y^4+z^4))$ non è continua in $(0,0,0)$. è giusto? grazie
$f: R^3 \to RR f:sqrt(x^6+y^4+z^4)$ ha derivate parziali continue in $(0,0,0)$
per esempio $f_x=(3x^5)/(sqrt(x^6+y^4+z^4))$ non è continua in $(0,0,0)$. è giusto? grazie
Risposte
Occhio, che:
[tex]$0\leq |f_x(x,y,z)|\leq \frac{3|x|^5}{\sqrt{x^6}} =\frac{3|x|^5}{|x|^3} =3x^2$[/tex]
e quando [tex]$(x,y,z)\to (0,0,0)$[/tex] si ha...
Poi ovviamente ti tocca calcolare esplicitamente [tex]$f_x(0,0,0)$[/tex] col limite del rapporto incrementale rispetto a [tex]$x$[/tex], i.e.:
[tex]$f_x(0,0,0) =\lim_{h\to 0} \frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}$[/tex],
e se tale limite esiste, confrontarlo col valore ricavato dall'altro passaggio al limite.
[tex]$0\leq |f_x(x,y,z)|\leq \frac{3|x|^5}{\sqrt{x^6}} =\frac{3|x|^5}{|x|^3} =3x^2$[/tex]
e quando [tex]$(x,y,z)\to (0,0,0)$[/tex] si ha...
Poi ovviamente ti tocca calcolare esplicitamente [tex]$f_x(0,0,0)$[/tex] col limite del rapporto incrementale rispetto a [tex]$x$[/tex], i.e.:
[tex]$f_x(0,0,0) =\lim_{h\to 0} \frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}$[/tex],
e se tale limite esiste, confrontarlo col valore ricavato dall'altro passaggio al limite.
una domanda
ma la la derivata prima parziale rispetto alla x non è definita nell' origine. ora mi chiedo come possa essere continua nell' origine. un conto è dire che è derivabile e fino a qui ci sono ma non riesco a capire come possa essere continua una funzione la quale non è definita in un punto. puoi chiarirmi questo dubbio gugo. grazie
ma la la derivata prima parziale rispetto alla x non è definita nell' origine. ora mi chiedo come possa essere continua nell' origine. un conto è dire che è derivabile e fino a qui ci sono ma non riesco a capire come possa essere continua una funzione la quale non è definita in un punto. puoi chiarirmi questo dubbio gugo. grazie
Gugo ti ha soltanto detto che il limite della derivata parziale rispetto a x esiste e fa 0, ma non che questa è continua in (0,0,0).
"fireball":
Gugo ti ha soltanto detto che il limite della derivata parziale rispetto a x esiste e fa 0, ma non che questa è continua in (0,0,0) (non è neanche definita in questo punto).
ok sono d' accordo con voi grazie mille. volevo una conferma perchè alcuni miei compagni mi avevano detto che la derivata parziale rispetto alla x era continua nell' origine. grazie ancora
__
un altra domanda se posso. in questo esercizio richiedeva di trovare il valore del differenziale nell' origine. per il limite uso le coordinate sferiche? non so se sono stato chiaro
Scusami, prima mi sono espresso male: è ovvio che fuori dall'origine la funzione è derivabile (perché composta da funzioni
derivabili), ma non è detto che lo sia anche in (0,0,0).
Per calcolarle in questo punto, infatti, devi usare la definizione, e vedrai che con l'uso della definizione, le derivate parziali vengono tutte 0.
Una volta fatto questo, puoi chiederti se sono continue in (0,0,0), applicando la definizione di continuità.
Otterrai che sono anche continue in (0,0,0), quindi la funzione è differenziabile in (0,0,0) e il differenziale è dato dall'applicazione
lineare $v |-> <\nablaf(0,0,0),v>$ per ogni $v in RR^3$. Ora $nablaf(0,0,0)=(0,0,0)$, per cui il differenziale è 0 per ogni v.
derivabili), ma non è detto che lo sia anche in (0,0,0).
Per calcolarle in questo punto, infatti, devi usare la definizione, e vedrai che con l'uso della definizione, le derivate parziali vengono tutte 0.
Una volta fatto questo, puoi chiederti se sono continue in (0,0,0), applicando la definizione di continuità.
Otterrai che sono anche continue in (0,0,0), quindi la funzione è differenziabile in (0,0,0) e il differenziale è dato dall'applicazione
lineare $v |-> <\nablaf(0,0,0),v>$ per ogni $v in RR^3$. Ora $nablaf(0,0,0)=(0,0,0)$, per cui il differenziale è 0 per ogni v.
"fireball":
Scusami, prima mi sono espresso male: è ovvio che fuori dall'origine la funzione è derivabile (perché composta da funzioni
derivabili), ma non è detto che lo sia anche in (0,0,0).
Per calcolarle in questo punto, infatti, devi usare la definizione, e vedrai che con l'uso della definizione, le derivate parziali vengono tutte 0.
Una volta fatto questo, puoi chiederti se sono continue in (0,0,0), applicando la definizione di continuità.
Otterrai che sono anche continue in (0,0,0), quindi la funzione è differenziabile in (0,0,0) e il differenziale è dato dall'applicazione
lineare $v |-> <\nablaf(0,0,0),v>$ per ogni $v in RR^3$. Ora $nablaf(0,0,0)=(0,0,0)$, per cui il differenziale è 0 per ogni v.
scusami ma non sto capendo . le derivate prime parziali sono continue nell' origine?
Sì; per verificare la continuità nell'origine delle derivate parziali, non devi fare altro che verificare che
[tex]$\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)} \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(0,0,0)[/tex],
dove ho indicato con [tex]x_i[/tex] una delle tre variabili x,y,z.
Ora, il secondo membro lo devi calcolare con la definizione (limite del rapporto incrementale), perché
sai che fuori dall'origine la funzione è derivabile (è composta da funzioni derivabili), ma nell'origine non puoi dire nulla.
Una volta calcolato il secondo membro come limite del rapporto incrementale, va verificata l'uguaglianza con il primo membro.
L'uguaglianza è verificata nel caso di tutte e tre le derivate parziali.
[tex]$\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)} \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(0,0,0)[/tex],
dove ho indicato con [tex]x_i[/tex] una delle tre variabili x,y,z.
Ora, il secondo membro lo devi calcolare con la definizione (limite del rapporto incrementale), perché
sai che fuori dall'origine la funzione è derivabile (è composta da funzioni derivabili), ma nell'origine non puoi dire nulla.
Una volta calcolato il secondo membro come limite del rapporto incrementale, va verificata l'uguaglianza con il primo membro.
L'uguaglianza è verificata nel caso di tutte e tre le derivate parziali.
"fireball":
Sì; per verificare la continuità nell'origine delle derivate parziali, non devi fare altro che verificare che
[tex]$\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)} \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(0,0,0)[/tex],
dove ho indicato con [tex]x_i[/tex] una delle tre variabili x,y,z.
Ora, il secondo membro lo devi calcolare con la definizione (limite del rapporto incrementale), perché
sai che fuori dall'origine la funzione è derivabile (è composta da funzioni derivabili), ma nell'origine non puoi dire nulla.
Una volta calcolato il secondo membro come limite del rapporto incrementale, va verificata l'uguaglianza con il primo membro.
L'uguaglianza è verificata nel caso di tutte e tre le derivate parziali.
ok capito grazie
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