DERIVATE: Polinomio di taylor

[peppic]

Salve a tutti,vorrei porvi una domanda,stò preparando l'esame di matematica 1 ,e nn riesco a capirci nulla per quanto riguarda questo benedetto polinomio di Taylor,qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi in parole povere come si arriva a dire che tale polinomio rappresenta l'equazione della tangente alla curva in un certo punto Xo???
Ringrazio anticipatamente,(e mi riservo di farlo anche posticipatamente),chi deciderà di aiutarmi,grazie ancora ciao

[keplero1]

Dunque, cercherò di fare del mio meglio per farti capire.
Innanzitutto, mi sa che hai detto una cosa non vera. Difatti il polinomio di Tayor "approssima" una funzione f(x) con un polinomio, appunto, e la forma in cui puoi scriverre la formula è questa:



Dove vanno fatte le solite precisazioni, 0! = 1, f elevato a k quando k = 0 è proprio f(x) non derivata. Ora, se sviluppiamo questa sommatoria, fermandoci quando k = 1, avremo:



Con Taylor, per adesso, fermiamoci qui, lo riprendiamo dopo. Ora analizziamo il significato geometrico della derivata, ovvero la retta tangente. Sia f(x) una funzione definita in un intorno di un punto xo (x con zero) e si consideri nel piano x, y il grafico della funzione (come in figura). Vogliamo determinare l'equazione della retta r passante per il punto Po di coordinate (xo, f(xo)) e tangente al grafico della funzione f.



Grafico, tralaltro, palesemente scannerizzato dal mio libro di Analisi Comunque non fermiamoci per queste quisquilie.

Determiniamo l'equazione di una retta r' secante il grafico della funzione f nei punti Po = (xo, f(xo)) e P = (xo + h, f(xo + h)). Orbene, l'equazione di una generica retta è y = mx + q; ci troviamo quindi m e q imponendo che la retta passi per i punti dati:



La prima equazione, ovviamente, è il passaggio per Po, la seconda, per P.

Risolviamo il sistema per sostituzione (o anche sottraendo la prima equazione dalla seconda). Si ottiene:



e poi si ricava q dalla prima equazione. La retta secante allora (finalmente l'abbiamo trovata) ha equazione:



L'equazione della retta tangente, quando esiste, è il limite per h tendente a zero dell'equazione della retta secante. Si può passare al limite se e solo se f è derivabile in xo. L'equazione della retta tangente al grafico di f risulta essere:



Che è la stessa cosa dello sviluppo in serie di Taylor con k = 1! Spero proprio di averti aiutato a comprendere, tieni conto che se prosegui nello sviluppare delle funzioni con Taylor, non hai mica delle rette! Ma approssimi una funzione, come nel caso del seno, guarda:



Questo è il grafico dei polinomi di grado: primo, terzo, quinto... che si ricavano dallo sviluppo in formula di Taylor per la funzione sen x. Nota che il polinomio di primo grado è una retta (tangente al grafico nel punto xo = 0), mentre gli altri no! Però approssimano la funzione con una "precisione" sempre crescente. Fammi sapere se ti è chiaro, ciao!




Modificato da - keplero il 28/01/2004 12:02:29

[peppic]

si , ora ho capito,nel modo in cui me lo hai spiegato tu sei stato veramente molto chiaro , e ti ringrazio, solo che ancora nn riesco a capire la dimostrazione che mi ha fatto la prof.(in effetti ti anticipo che sarò io incapace, ma è veramente molto confusa),potresti aiutarmi???perchè la prof. vuole questa all'esame.Lei inizia facendo un limite con Xo che tende a zero di :
F(x)-F(Xo) - dF(xo)/X-Xo e mi dice dimostrandolo che essendo questo limite è uguale a zero,ed essendo formato da un rapporto di infinitesimi l'infinitesimo del numeratore deve essere di ordine superiore rispetto al denominatore.Quello che nn capisco io e cosa rappresenta questo limite, e come da questo si arrivi a ricavare il polinomio di Taylor,ovvero lei mi dice,solo,visto che questo limite è uguale a zero e che quindi il numeratore è un infinitesimo di ordine superiore rispetto al denominatore,il polinomio F(x)=F(xo) + F'(xo)*(x-xo) è il polinomio di Taylor che ci serve per trovare la tangente alla curva in un ponto xo!!!!!
Io nn ci ho capito veramente nulla , ti prego aiutami,tra un pò ho l'esame,grazie ciao

[keplero1]

Ok, forse ho capito quello che ti serve. La tua prof. evidentemente ti ha dimostrato la formula di Taylor fermandosi alla prima derivata; tuttavia non mi trovo con alcune cose che hai detto, ti posto la dimostrazione fammi sapere se va bene:

Innanzitutto, questa dimostrazione vale solamente quando la derivata

1.

è continua in xo, ma a noi sta cosa non interessa, tanto n non supererà uno, quindi basta che la prima derivata sia continua. Allora, come ti ho detto, vale questa formula:

2.

l'ultimo elemento, forse già lo sai, è chiamato o piccolo, e dire che è un infinitesimo di ordine superiore a (x - xo) significa che:

3.

e cioè, detto in parole povere, che l'o piccolo va a zero più velocemente di (x - xo), e quindi, anche se il limite apparentemente conduce ad una forma indeterminata 0/0, il nostro prode o piccolo fa in modo che la frazione si annulli mandando a cagare quello che sta sotto in velocità (evita di ripetere questo all'esame). Fatta questa dovuta precisazione, qualora tu ti stia chiedendo da dove caspita esce fuori questo o piccolo, sappi che vale:

4.

per x vicino a xo (guarda la prima figura nel mio post precedente). Con il simbolo approssimato si intende che la differenza tra il primo ed il secondo membro, che indichiamo con

5.

(la stessa cosa dell'o piccolo, ma scritto in maniera diversa) resto di ordine 1, tende a zero più rapidamente di (x - xo), cioè quindi:

6.

che è la stessa cosa della formula di Taylor all'inizio del post (stavolta il primo membro è proprio uguale al secondo perchè abbiamo considerato il resto). Questo resto, devi sapere, nell'approssimazione delle funzioni con xo = 0, è trascurabile proprio perchè o piccolo, infinitesimo di ordine superiore. Ma ora passiamo alla tua benedettissima dimostrazione:

bisogna dimostrare che:

7.

Non c'è nulla da spaventarsi vedendo questo! Infatti, non ho fatto altro che trovarmi l'o piccolo (o resto) nella formula 6 e l'ho sostituito nel limite 3! Se guardi bene, il limite si presenta sotto la forma indeterminata 0/0, ma a noi ce ne frega perchè abbiamo avuto la fortuna di incontrare per strada l'altra sera un certo Hopital, che ci ha svelato un trucco: deriviamo numeratore e denominatore rispetto a x (quindi ad esempio la derivata di f(xo) vale zero) per cui abbiamo:

8.

che è zero per ovvi motivi. Nella speranza di non aver fatto nessun errore (controlla bene - invito a controllare anche gli altri amici del forum), ti auguro di capire tutto! Fammi sapere eventuali dubbi, che cerco di fare del mio meglio, ciao!

[peppic]

Ha,si,si,si,si,Finalmente ci sono ,Ti ringrazio veramente tanto,scusami se nn mi dilungo in complimenti (che meriti), ma i libri mi attendono tra 1 pò ho l'esame e sono ancora fermo sulle derivate,grazie ancora sei stato gentilissimo , alla prossima ciao