Derivate parziali - rapporto incrementale

[ludwigZero]

Ho un esercizio che dice di stabilire se la funzione
$f(x,y)=|x-y|(x+y)$ ammette derivate parziali in punti come $(0,0)$ e altri (che non elenco)

domande che mi sto ponendo:
(1) per verificare che ammette derivate parziali uso il limite del rapporto incrementale, giusto?
(2) tale funzione potrebbe esser vista come:
$(x-y)*(x+y) = x^2 - y^2$
U
$(y-x)*(x+y) = y^2 - x^2$

(3) in $(0,0)$ è un caso diciamo 'particolare', se io fissassi $y=0$ verrebbe: $f(x,0) = |x|*x$ (e in modo analogo se fissasi $x=0$) senza uso del limite del rapporto incrementale, mi trovo 'a botto' che il limite esiste, ed è $0$, questo metodo di 'matematica sperimentale' non posso sempre usarlo? Vi sono altri metodi?

grazie

[dissonance]

1) ok;
2) si però specifica in quali regioni dello spazio vale la prima espressione e in quali l'altra;
3) nessuna "matematica sperimentale", il metodo è corretto perché, per definizione di derivata parziale, la derivata in \((0, 0)\) rispetto ad \(x\) è la derivata della restrizione di \(f\) all'asse delle \(x\).

In generale la derivata di una funzione \(g\) nel punto \(p\) lungo la direzione del vettore \(v\) coincide con la derivata

\[\left.\frac{d}{dt}g(\gamma(t))\right\rvert_{t=0},\]

dove \(\gamma\) è una qualsiasi curva passante per \(p\) e tale che \(\dot{\gamma}(0)=v\). Nel caso specifico la direzione era quella dell'asse delle \(x\) e come curva hai preso, appunto, l'asse delle \(x\) parametrizzato a velocità unitaria.

[ludwigZero]

2) la prima per $x>y$, la seconda per $x 3) dato che la curva è $x$, non sarebbe di velocità ? $\dotx = 1$ mi trovo(in $0$ o qualunque altro numero di $RR$ è sempre di velocità unitaria....)

su altri punti in cui dovevo verificare le derivate parziali, ho un paio di dubbi.
prendiamo il punto $(2,3)$

$f_x (2,3) = lim_(h->0) (f(2+h,3) - f(2,3))/h = (|2+h -3|(2+h+3) -5)/h)$

arrivato qui, do un'occhiata al risultato del libro, e trovo che va fatto per $lim_(h->0^-)$ ovvero per $|h -1|$ con $h<1$ diventando:
$((1-h)(h+5) -5)/h) =6$
per $h->0^-$

$f_x (2,3) = 6$

se lo facessi per $lim_(h->0^+)$ non verrebbe! (nel senso se ponessi $h>1$ e quindi $h-1$ ....)

(ho trovato problemi a inserire le formule, le ho rese più leggibili...)

[Plepp]

Che vuol dire "la curva è $x$"? La curva è l'ASSE $x$, che puoi scrivere come $\gamma(t)=(t,0)$, $t\in RR$. Risulta, come cercavi di dire, $\dot{\gamma}(t)=\dot{\gamma}(0)=(1,0)$ (un vettore! non un "numero").

A parte questo, secondo me la definizione che ti ha mostrato Dissonance, secondo me, è poco "operativa".
Detto $v$ un versore di $RR^2$, la derivata direzionale di $f(x,y)$, calcolata nel punto $p(x_0,y_0)$ nella direzione del versore $v$, è definita come
\[\partial_v f=\lim_{t\to 0}\dfrac{f(p+tv)-f(p)}{t}\]
Ovviamente, questa definizione è identica alla precedente, però forse è di più semplice applicazione

A me viene $f_x(2,3)=-4$...come ti viene $6$?

Ciao!

@Dissonace: la curva $\gamma$ non dovrebbe essere tale che $\gamma(0)=p$?

[dissonance]

"Plepp":@Dissonace: la curva $\gamma$ non dovrebbe essere tale che $\gamma(0)=p$?

Si, certo.

[Plepp]

Ah ok te lo chiedo perchè in realtà è la prima volta che leggo la tua definizione Quella che conoscevo, formulata in quei "termini", considerava, anzichè una qualsiasi $\gamma(t)$, la semiretta "uscente" da $p$ avente vettore direzionale $v$.
Che potesse valere per una curva $\gamma$ qualsiasi che passasse per $p$ e t.c. $\dot\gamma(0)=v$ era intuibile, ma non mi spiegavo perchè mancasse la condizione $\gamma(0)=p$.

[ludwigZero]

erano due punti simmetrici e io ho riportato la derivata sbagliata, infatti è:
$f_x(2,3) = -4$
$f_y(2,3)=6$

il mio dubbio era perchè se tolgo il valore assoluto in questo modo:
$|h-1|= 1-h$ viene il risultato, mentre per $|h-1|= h+1$ non viene?
(l'ho notato facendo il limite del rapporto incrementale prima per l'uno $1-h$ poi per l'altro $ h+1$ .....

sulla questione curve, non ci sono ancora arrivato, riconosco per ora la derivata lungo una direzione $v$ assegnata.

[Plepp]

"ludwigZero":
il mio dubbio era perchè se tolgo il valore assoluto in questo modo:
$|h-1|= 1-h$ viene il risultato, mentre per $|h-1|= h+1$ non viene?
(l'ho notato facendo il limite del rapporto incrementale prima per l'uno $1-h$ poi per l'altro $ h+1$ .....

Se ti riferisci al calcolo di $f_x(2,3)$, probabilmente avrai sbagliato qualcosa...
Potresti semplificarti la vita considerando che, essendo $x=2<3=y$, allora $f(x,y)=y^2-x^2$, come hai osservato tu stesso qualche post più su. A questo punto dovrebbe essere semplice...

[ludwigZero]

Ahhh giusto!
Io stavo usando la definizione di limite a due variabili, cioè quello del limite del 'rapporto incrementale' (anche se chiamarlo così da quel che ho letto è fuorviante....) Quando andavo a togliere il modulo dovevo semplicemnte tener conto che mi trovavo nel caso $x

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[Plepp]

No No. La definizione di limite che stavi usando era giusta, che c'entra quella in due variabili?
Ti stavo solo suggerendo di scrivere $f$ come $y^2-x^2$, togliendoti dalle scatole dunque il valore assoluto, per calcolare in maniera più semplice il limite di prima (quello "con $h$").

EDIT: questo a meno che tu non sia obbligato a calcolare le derivata parziale tramite la definizione (col limite intendo...).
In questo caso puoi derivare rispetto a $x$ quell'espressione nel "solito modo", ottenendo
\[\dfrac{\partial}{\partial x}(y^2-x^2)=-2x=-4\]

[ludwigZero]

mi trovo ora, si avrei dovuto calcolarlo tramite la definizione.

Little OT:
Sto trovando qualche dubbio nel risolvere i limiti di f. a due variabili, con il metodo delle restrizioni sulle rette, o con coordinate polari. Usare tale metodo è a volte un pò fuorviante, poichè ad esempio, se uno la restrizione sulle rette, niente mi viene che se usassi il metodo con cordinate polari mi verrebbe la stessa cosa. Tipo:
$lim (x^2 y)/(x^4 +y^2)$ per $(x,y)->(0,0)$

usando $y=x^2$ il $lim f(x,x^2) = 1/2$
usando $x=l*t$ e $y=m*t$ il $lim f(l*t,m*t) = 0$
questo mi fa dedurre che il limite in $(0,0)$ non esiste, però dico, devo far sempre così, cioè usare due restrizioni diverse e vedere se converge semper allo stesso $l$?

[Plepp]

No no. Ci sono un sacco di thread su questo argomento, prova a cercare un po'.
La tecnica delle restrizioni è più "distruttiva" che altro, nel senso che ti permette solo di dimostrare che il limite non esiste...Tramite le coordinate polari, invece, puoi determinare effettivamente il valore del limite, ma prima devi essere capace di individuare un certo "candidato" $l$: usando le maggiorazioni puoi dimostrare che questo $l$ è proprio il valore del limite.