Derivate parziali nei punti di frontiera
Sia $ f(x,y)=x\sqrty $ e calcoliamo le derivate parziali nei punti $ (x_0,0) $ di frontiera:
$ lim_(x -> x_0)(f(x,0)-f(x_0,0)) / (x)=0\forallx_0 $
$ lim_(y-> 0)(f(x_0,y)-f(x_0,0)) / (y)=lim_(y->0)(x_0\sqrty)/y =0ifx_0=0 $
Quindi la funzione alla frontiera è derivabile solo nell'origine. Se utilizzo la definizione di derivata parziale in un punto di frontiera:
$ (partial f)/(partial x)(0,0)=lim_((x,y) -> (0,0)) (partial f)/(partial x)(x,y)= lim_((x,y) -> (0,0))\sqrty=0 $
$ (partial f)/(partial y)(0,0)=lim_((x,y) -> (0,0)) (partial f)/(partial y)(x,y)= lim_((x,y) -> (0,0))(x)/(2\sqrty) $
dove l'ultimo limite non esiste (la funzione $ (partial f)/(partial y)(x,y) $ ristretta alla parabola $ y=x^2 $ non ammette limite). Perchè non ritrovo le stesse cose nei due casi?
Grazie
$ lim_(x -> x_0)(f(x,0)-f(x_0,0)) / (x)=0\forallx_0 $
$ lim_(y-> 0)(f(x_0,y)-f(x_0,0)) / (y)=lim_(y->0)(x_0\sqrty)/y =0ifx_0=0 $
Quindi la funzione alla frontiera è derivabile solo nell'origine. Se utilizzo la definizione di derivata parziale in un punto di frontiera:
$ (partial f)/(partial x)(0,0)=lim_((x,y) -> (0,0)) (partial f)/(partial x)(x,y)= lim_((x,y) -> (0,0))\sqrty=0 $
$ (partial f)/(partial y)(0,0)=lim_((x,y) -> (0,0)) (partial f)/(partial y)(x,y)= lim_((x,y) -> (0,0))(x)/(2\sqrty) $
dove l'ultimo limite non esiste (la funzione $ (partial f)/(partial y)(x,y) $ ristretta alla parabola $ y=x^2 $ non ammette limite). Perchè non ritrovo le stesse cose nei due casi?
Grazie
Risposte
Ciao! Sbagli perché questa uguaglianza
non è vera. Sarebbe vera se $\frac{\partial f}{\partial y}$ fosse continua nell'origine, ma ciò è falso.
Comunque, le derivate sono definite solo nei punti interni, quindi non so cosa intendi con "derivata parziale in un punto di frontiera", non l'ho mai letto in nessun libro. Puoi riportare la definizione precisa e, soprattutto, la fonte di questa definizione?
"TS778LB":
$ (partial f)/(partial y)(0,0)=lim_((x,y) -> (0,0)) (partial f)/(partial y)(x,y)$
non è vera. Sarebbe vera se $\frac{\partial f}{\partial y}$ fosse continua nell'origine, ma ciò è falso.
Comunque, le derivate sono definite solo nei punti interni, quindi non so cosa intendi con "derivata parziale in un punto di frontiera", non l'ho mai letto in nessun libro. Puoi riportare la definizione precisa e, soprattutto, la fonte di questa definizione?
Marcellini Sbordone - Analisi matematica 2 - pag 130
Sto leggendo, come puoi vedere richiede la continuità. Da pagina 129, quando inizia con "Più generalmente..." fino alla fine del paragrafo 27, dice esplicitamente che tale definizione ha senso se la derivata parziale di $f$ rispetto a $x_i$ nel punto $x_0$ è continua; tale ipotesi, come detto prima, non è verificata in $(0,0)$ in quanto
$$\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=\begin{cases} \frac{x}{2\sqrt{y}}, \ \text{se} \ (x,y) \ne (0,0) \\ 0, \ \text{se} \ (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
E, come da te correttamente osservato qui
tale limite non esiste. Perciò, non essendoci continuità in $(0,0)$, non puoi usare quel risultato di calcolare il limite della derivata parziale e quindi non c'è alcuna contraddizione.
$$\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=\begin{cases} \frac{x}{2\sqrt{y}}, \ \text{se} \ (x,y) \ne (0,0) \\ 0, \ \text{se} \ (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
E, come da te correttamente osservato qui
"TS778LB":
$ (partial f)/(partial y)(0,0)=lim_((x,y) -> (0,0)) (partial f)/(partial y)(x,y)= lim_((x,y) -> (0,0))(x)/(2\sqrty) $
dove l'ultimo limite non esiste (la funzione $ (partial f)/(partial y)(x,y) $ ristretta alla parabola $ y=x^2 $ non ammette limite).
Grazie
tale limite non esiste. Perciò, non essendoci continuità in $(0,0)$, non puoi usare quel risultato di calcolare il limite della derivata parziale e quindi non c'è alcuna contraddizione.
L'ipotesi di continuità delle derivate parziali è però richiesta per i punt interni all'insieme di definizione e $ (0,0) $ non lo è. Non esistendo il limite in questione però la derivata parziale non è prolungabile per continuità e quindi non dovrebbe esserci derivabilità sulla frontiera. Applicando però la definizione con rapporto incrementale e facendo tendere $ y->0^+ $ mi risulta derivabilità in $ (0,0) $ . Pensandoci forse non avrebbe senso considerarlo dato che la funzione non è proprio definita in tal punto....
Sulla prima parte hai ragione tu, scusami sono stato troppo frettoloso nel risponderti. L'ho letto meglio e ora dovrei riuscire a chiarirti le idee.
Analizziamo per bene come procede il Marcellini-Sbordone: consideriamo $f(x,y)=x \sqrt{y}$, essa ha dominio naturale $\text{dom}(f)=\mathbb{R} \times [0,\infty)$. Tale insieme non è aperto, pertanto con la classica definizione delle derivate parziali ha senso parlare di derivate parziali solamente nell'aperto $\text{int} (\text{dom}(f))=\mathbb{R} \times (0,\infty)=A$.
Ho chiamato tale insieme $A$ per cercare di seguire la notazione del Marcellini-Sbordone. Dato che, per i teoremi di derivabilità, le funzioni di una variabile $x$ e $\sqrt{y}$ sono derivabili rispettivamente in $\mathbb{R}$ e in $(0,\infty)$, segue che il prodotto $x \sqrt{y}$ è derivabile in $\mathbb{R} \times (0,\infty)$ e possiamo calcolare tali derivate con le regole di derivazione: ossia, per ogni $(x,y) \in \mathbb{R} \times (0,\infty)$ risultano $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\sqrt{y}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x}{2\sqrt{y}}$.
Ma $f$ è definita in un insieme non aperto, e la sua chiusura è la chiusura dell'aperto $\mathbb{R} \times (0,\infty)$: ossia $D=\bar{\mathbb{R} \times (0,\infty)}=\mathbb{R} \times [0,\infty)$.
Abbiamo visto che le derivate parziali $f_x$ ed $f_y$ esistono in ogni punto $(x,y) \in \text{int}(D)=\mathbb{R} \times (0,\infty)$ e $f_x(x,y)=\sqrt{y}$ ed $f_y(x,y)=\frac{x}{2\sqrt{y}}$ sono continue in $\mathbb{R} \times (0,\infty)$ (perché composizione, rapporto di funzioni continue con denominatore mai nullo in $\mathbb{R} \times (0,\infty)$). In ogni $P,Q \in D$ (non uso $x_0$ perché voglio usare la stessa notazione del tuo post iniziale) ha senso considerare i limiti $\lim_{P \to Q} f_x (P)$ e $\lim_{P \to Q} f_y (P)$.
Nei punti $Q \in \text{int}(D)$ si ha il risultato usuale del limite del rapporto incrementale, altrimenti bisogna vedere se il prolungamento con continuità esiste. Rimane da vedere cosa succede per $Q \in \partial D=\{(x_0,0)\}$.
Si ha che $\lim_{(x,y) \to (x_0,0^+)} f_x(x,y)=\lim_{(x_0,0^+)} \sqrt{y}=0$ per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$, tuttavia $\lim_{(x,y) \to (x_0,0^+)} f_y(x,y)=\lim_{(x,y) \to (x_0,0^+)} \frac{x}{2\sqrt{y}}$ non esiste sempre: esiste solo se $x_0=0$, e in tal caso vale $0$. Quindi l'unico punto di frontiera in cui $f$ è derivabile è $(0,0)$.
In pratica, il problema del tuo approccio è comunque la prima uguaglianza qui sotto
nel senso che non puoi scrivere la prima uguaglianza perché, nonostante ora sappiamo (grazie alla definizione del Marcellini-Sbordone della derivabilità su un punto di frontiera) che $f$ è derivabile in $(0,0)$, non è vero che $f_y$ è continua in $(0,0)$; lo dimostri con la curva $y=x^2$, come hai fatto prima.
Qui comunque non è corretto: il fatto è che le formule di derivazione valgono dove già sai che $f$ è derivabile, quindi $f_y(x,y)=\frac{x}{2\sqrt{y}}$ vale per ogni $x \in \mathbb{R}$ e per ogni $y>0$ e perciò non hai informazioni su $f_y(x,0)$ da quella formula. Ne puoi calcolare il limite, ma esso in generale non c'entra col valore della derivata in $(x,0)$. Stai confondendo il valore della derivata in $y=0$ con l'eventuale valore che avrebbe se avesse un'espressione data dalla formula che hai ottenuto (che però vale per $y>0$), quindi è per questo che non ti torna il ragionamento ottenuto combinando il limite per $y \to 0^+$ e l'espressione $\frac{x}{2\sqrt{y}}$. Non sono correlate, in generale, con l'esistenza e il valore di $f_y(x,0)$, lo sono solo sotto opportune ipotesi.
Spero di aver chiarito e scusa nuovamente la svista.
Analizziamo per bene come procede il Marcellini-Sbordone: consideriamo $f(x,y)=x \sqrt{y}$, essa ha dominio naturale $\text{dom}(f)=\mathbb{R} \times [0,\infty)$. Tale insieme non è aperto, pertanto con la classica definizione delle derivate parziali ha senso parlare di derivate parziali solamente nell'aperto $\text{int} (\text{dom}(f))=\mathbb{R} \times (0,\infty)=A$.
Ho chiamato tale insieme $A$ per cercare di seguire la notazione del Marcellini-Sbordone. Dato che, per i teoremi di derivabilità, le funzioni di una variabile $x$ e $\sqrt{y}$ sono derivabili rispettivamente in $\mathbb{R}$ e in $(0,\infty)$, segue che il prodotto $x \sqrt{y}$ è derivabile in $\mathbb{R} \times (0,\infty)$ e possiamo calcolare tali derivate con le regole di derivazione: ossia, per ogni $(x,y) \in \mathbb{R} \times (0,\infty)$ risultano $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\sqrt{y}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x}{2\sqrt{y}}$.
Ma $f$ è definita in un insieme non aperto, e la sua chiusura è la chiusura dell'aperto $\mathbb{R} \times (0,\infty)$: ossia $D=\bar{\mathbb{R} \times (0,\infty)}=\mathbb{R} \times [0,\infty)$.
Abbiamo visto che le derivate parziali $f_x$ ed $f_y$ esistono in ogni punto $(x,y) \in \text{int}(D)=\mathbb{R} \times (0,\infty)$ e $f_x(x,y)=\sqrt{y}$ ed $f_y(x,y)=\frac{x}{2\sqrt{y}}$ sono continue in $\mathbb{R} \times (0,\infty)$ (perché composizione, rapporto di funzioni continue con denominatore mai nullo in $\mathbb{R} \times (0,\infty)$). In ogni $P,Q \in D$ (non uso $x_0$ perché voglio usare la stessa notazione del tuo post iniziale) ha senso considerare i limiti $\lim_{P \to Q} f_x (P)$ e $\lim_{P \to Q} f_y (P)$.
Nei punti $Q \in \text{int}(D)$ si ha il risultato usuale del limite del rapporto incrementale, altrimenti bisogna vedere se il prolungamento con continuità esiste. Rimane da vedere cosa succede per $Q \in \partial D=\{(x_0,0)\}$.
Si ha che $\lim_{(x,y) \to (x_0,0^+)} f_x(x,y)=\lim_{(x_0,0^+)} \sqrt{y}=0$ per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$, tuttavia $\lim_{(x,y) \to (x_0,0^+)} f_y(x,y)=\lim_{(x,y) \to (x_0,0^+)} \frac{x}{2\sqrt{y}}$ non esiste sempre: esiste solo se $x_0=0$, e in tal caso vale $0$. Quindi l'unico punto di frontiera in cui $f$ è derivabile è $(0,0)$.
In pratica, il problema del tuo approccio è comunque la prima uguaglianza qui sotto
"TS778LB":
$ (partial f)/(partial y)(0,0)=lim_((x,y) -> (0,0)) (partial f)/(partial y)(x,y)= lim_((x,y) -> (0,0))(x)/(2\sqrty) $
dove l'ultimo limite non esiste (la funzione $ (partial f)/(partial y)(x,y) $ ristretta alla parabola $ y=x^2 $ non ammette limite). Perchè non ritrovo le stesse cose nei due casi?
Grazie
nel senso che non puoi scrivere la prima uguaglianza perché, nonostante ora sappiamo (grazie alla definizione del Marcellini-Sbordone della derivabilità su un punto di frontiera) che $f$ è derivabile in $(0,0)$, non è vero che $f_y$ è continua in $(0,0)$; lo dimostri con la curva $y=x^2$, come hai fatto prima.
"TS778LB":
Applicando però la definizione con rapporto incrementale e facendo tendere $ y->0^+ $ mi risulta derivabilità in $ (0,0) $ . Pensandoci forse non avrebbe senso considerarlo dato che la funzione non è proprio definita in tal punto....
Qui comunque non è corretto: il fatto è che le formule di derivazione valgono dove già sai che $f$ è derivabile, quindi $f_y(x,y)=\frac{x}{2\sqrt{y}}$ vale per ogni $x \in \mathbb{R}$ e per ogni $y>0$ e perciò non hai informazioni su $f_y(x,0)$ da quella formula. Ne puoi calcolare il limite, ma esso in generale non c'entra col valore della derivata in $(x,0)$. Stai confondendo il valore della derivata in $y=0$ con l'eventuale valore che avrebbe se avesse un'espressione data dalla formula che hai ottenuto (che però vale per $y>0$), quindi è per questo che non ti torna il ragionamento ottenuto combinando il limite per $y \to 0^+$ e l'espressione $\frac{x}{2\sqrt{y}}$. Non sono correlate, in generale, con l'esistenza e il valore di $f_y(x,0)$, lo sono solo sotto opportune ipotesi.
Spero di aver chiarito e scusa nuovamente la svista.
Sei stato di una chiarezza estrema. Ora ho appreso il concetto: studiare il limite della funzione derivata ha senso solo laddove la funzione è derivabile. Quindi dopo aver verificato con la definizione che la derivabilità c'è solo in (0,0) , e che assume valore 0, studiare il limite della derivata parziale servirebbe solo a verificarne la continuità per poi estenderla. In condizioni di inesistenza del limite, non posso prolungare ma questo non significa non derivabile. Tutto si ridurrebbe a: non è detto che una funzione definita in un punto sia ivi continua. Grazie di tutto
Prego! C'è un corollario del teorema di Lagrange che ti permette di stabilire quando puoi calcolare la derivata in un certo punto come limite della funzione che ottieni dalle regole di derivazione (almeno in una variabile, ma credo che si possa estendere in più variabili perché le derivate direzionali sono oggetti unidimensionali e quindi credo si possa estendere considerando le loro restrizioni al segmento giacente sulla direzione considerata nella derivata direzionale); studialo per bene, ti toglierà ogni dubbio su quando quel procedimento che volevi usare facendo tendere $y \to 0^+$ è valido oppure no.
In realtà, qui:
ho scritto una cosa sbagliata, perché come avevo detto prima quel limite non esiste neanche se $x_0=0$. Volevo dire (come hai riportato tu all'inizio del primo messaggio di questa conversazione) che il limite del rapporto incrementale rispetto a $y$ "dall'alto" esiste nel punto $(0,0)$ ed è $0$, ossia $\lim_{k \to 0^+} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0$.
Nei casi come $f(x,y)=x \sqrt{y}$, sembra che la situazione sia un po' ambigua (non è come nell'esempio 3.3 in cui non c'è speranza di definire alcun rapporto incrementale in $(0,0)$) in quanto si potrebbe considerare, nei punti di frontiera $\{(x_0,0)\}$ con $x_0 \in \mathbb{R}$, una "derivata dall'alto" (perché proprio $f$ non è definita per $y<0$, quindi proprio nella definizione di limite si interseca col dominio e l'intorno bucato in $y=0$ di $(x_0,0)$ e perciò si esclude che $k \to 0^-$) come quando, nel caso di un intervallo $[a,b]$, si può definire una derivata destra o sinistra considerando solo $h \to a^+$ o $h \to b^-$. Quindi credo che in questi casi sia un po' una questione di come si definiscono le cose: abbracciando una definizione in cui la derivabilità nei punti di frontiera $\{(x_0,0)\}$ sia coincidente con il rapporto incrementale classico ma con $y$ che tende a $0^+$ dato che $f$ non è definita per $y<0$, allora $f$ è derivabile in $(0,0)$; altrimenti, credo si possa definire la non derivabilità di $f$ se proprio a priori non è definito il rapporto incrementale sia dall'alto che dal basso e quindi definendo la derivata solo negli aperti. Infine, dato che $\mathbb{R} \times [0,\infty)$ non è aperto, si può definire la derivata nei punti di frontiera come il Marcellini-Sbordone e, alla luce della mia autocorrezione fatta nella citazione iniziale di questo post, dedurre che $f$ non è derivabile in alcun punto di frontiera $(x_0,0), x_0 \in \mathbb{R}$ perché non esiste il limite per $(x,y) \to (x_0,0)$ di $f_y$, per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$.
Tra l'altro, l'esempio della figura 3.3 che riporta il Marcellini-Sbordone non ci aiuta perché effettivamente là non è definito nessun singolo rapporto incrementale in $(0,0)$, né quello destro e sinistro per la variabile $x$ né quello dall'alto e dal basso per la variabile $y$. Per quanto ne so, non so risponderti con assoluta certezza su come tu debba concludere; a questo punto, ti direi che devi arrivare ad una conclusione differente in base alla definizione che ogni autore abbraccia (quindi ti consiglio anche di parlarne col tuo docente, sia perché magari ho detto un mucchio di falsità sia per eventualmente sapere come muoverti quando ti farà l'esame) e ti consiglio anche di aspettare un parere più esperto del mio.
Comunque, tutto il resto che ti ho scritto nel caso di $D$ non aperto dovrebbe essere sensato: perciò, almeno spero che questa discussione sia stata costruttiva per i casi come quello dell'esempio della figura 3.3 del tuo testo in cui non c'è questa ambiguità.
In realtà, qui:
"Mephlip":
tuttavia $\lim_{(x,y) \to (x_0,0^+)} f_y(x,y)=\lim_{(x,y) \to (x_0,0^+)} \frac{x}{2\sqrt{y}}$ non esiste sempre: esiste solo se $x_0=0$, e in tal caso vale $0$. Quindi l'unico punto di frontiera in cui $f$ è derivabile è $(0,0)$.
ho scritto una cosa sbagliata, perché come avevo detto prima quel limite non esiste neanche se $x_0=0$. Volevo dire (come hai riportato tu all'inizio del primo messaggio di questa conversazione) che il limite del rapporto incrementale rispetto a $y$ "dall'alto" esiste nel punto $(0,0)$ ed è $0$, ossia $\lim_{k \to 0^+} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0$.
Nei casi come $f(x,y)=x \sqrt{y}$, sembra che la situazione sia un po' ambigua (non è come nell'esempio 3.3 in cui non c'è speranza di definire alcun rapporto incrementale in $(0,0)$) in quanto si potrebbe considerare, nei punti di frontiera $\{(x_0,0)\}$ con $x_0 \in \mathbb{R}$, una "derivata dall'alto" (perché proprio $f$ non è definita per $y<0$, quindi proprio nella definizione di limite si interseca col dominio e l'intorno bucato in $y=0$ di $(x_0,0)$ e perciò si esclude che $k \to 0^-$) come quando, nel caso di un intervallo $[a,b]$, si può definire una derivata destra o sinistra considerando solo $h \to a^+$ o $h \to b^-$. Quindi credo che in questi casi sia un po' una questione di come si definiscono le cose: abbracciando una definizione in cui la derivabilità nei punti di frontiera $\{(x_0,0)\}$ sia coincidente con il rapporto incrementale classico ma con $y$ che tende a $0^+$ dato che $f$ non è definita per $y<0$, allora $f$ è derivabile in $(0,0)$; altrimenti, credo si possa definire la non derivabilità di $f$ se proprio a priori non è definito il rapporto incrementale sia dall'alto che dal basso e quindi definendo la derivata solo negli aperti. Infine, dato che $\mathbb{R} \times [0,\infty)$ non è aperto, si può definire la derivata nei punti di frontiera come il Marcellini-Sbordone e, alla luce della mia autocorrezione fatta nella citazione iniziale di questo post, dedurre che $f$ non è derivabile in alcun punto di frontiera $(x_0,0), x_0 \in \mathbb{R}$ perché non esiste il limite per $(x,y) \to (x_0,0)$ di $f_y$, per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$.
Tra l'altro, l'esempio della figura 3.3 che riporta il Marcellini-Sbordone non ci aiuta perché effettivamente là non è definito nessun singolo rapporto incrementale in $(0,0)$, né quello destro e sinistro per la variabile $x$ né quello dall'alto e dal basso per la variabile $y$. Per quanto ne so, non so risponderti con assoluta certezza su come tu debba concludere; a questo punto, ti direi che devi arrivare ad una conclusione differente in base alla definizione che ogni autore abbraccia (quindi ti consiglio anche di parlarne col tuo docente, sia perché magari ho detto un mucchio di falsità sia per eventualmente sapere come muoverti quando ti farà l'esame) e ti consiglio anche di aspettare un parere più esperto del mio.
Comunque, tutto il resto che ti ho scritto nel caso di $D$ non aperto dovrebbe essere sensato: perciò, almeno spero che questa discussione sia stata costruttiva per i casi come quello dell'esempio della figura 3.3 del tuo testo in cui non c'è questa ambiguità.
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