Derivate parziali miste di una funzione per casi
Ho la funzione f(0,y) = 0 e f(x,y) = x^2* sin(y/x) per x diverso da 0 e devo calcolare le derivate seconde miste. Il mio libro, nell'esempio risolto, riporta il calcolo della derivata prima rispetto ad x nel punto (0,y), ottenendo 0. Poi calcola la derivata prima rispetto ad y nel generico punto (x,y). Dopo le derivate prime, calcola quindi il limite del rapporto incrementale di ciascuna delle due derivate nel punto (0,0). Ma quello che non capisco riguarda le derivate prime: se calcolo la derivata prima rispetto ad x, perché devo considerare il punto (0,y)? non dovrei fissare la y e far variare la x?
Risposte
Questo dipende, lo puoi fare solo se la derivata è continua nel punto in cui poi la vorrai valutare, altrimenti devi applicare per forza la definizione di derivata parziale. Questo è un teorema di analisi uno che puoi trovare sul libro di analisi matematica di Paolo Maurizio Soardi.
Nel tuo caso ad esempio la derivata parziale rispetto ad $x$ definita in $(x,y)\ne (0,y)$ è $2x sin(\frac{y}{x})-y cos(\frac{y}{x})$ la quale chiaramente non è continua nei punti $(0,y)$ (tant'è che non esiste nemmeno il limite in tali punti).
Per cui ti trovi costretto ad applicare la definizione di derivata parziale e vedere se è essa è derivabile in tali punti anche se sai già che le derivate se esistono in tali punti saranno discontinue.
Lo stesso vale anche per la derivata parziale rispetto ad $y$.
Nel tuo caso ad esempio la derivata parziale rispetto ad $x$ definita in $(x,y)\ne (0,y)$ è $2x sin(\frac{y}{x})-y cos(\frac{y}{x})$ la quale chiaramente non è continua nei punti $(0,y)$ (tant'è che non esiste nemmeno il limite in tali punti).
Per cui ti trovi costretto ad applicare la definizione di derivata parziale e vedere se è essa è derivabile in tali punti anche se sai già che le derivate se esistono in tali punti saranno discontinue.
Lo stesso vale anche per la derivata parziale rispetto ad $y$.
Posso chiederti che cosa dice esattamente questo teorema? La mia domanda comunque è: perché per calcolare la derivata parziale prima rispetto ad x si considera f(0,y) e non f(x,y)?
No forse c'è un misunderstanding...
allora poiché il limite per $(x,y)\to(0,y)$ delle derivate prime non esiste se non in un caso ( e a maggior ragione esse non sono definite in tali punti) tu con le tecniche di derivazione non sai dirmi se esiste o non esiste la derivata nei punti $(0,y)$ e se esiste non avresti idea di quanto vale.
Adesso il fatto che il limite delle derivate prime in tali punti non esista non mi implica che la funzione in $(0,y)$ non sia derivabile.
Per questo applico la definizione di derivata parziale, che in questo caso posso scrivere come
$$
\lim_{t \to 0}\frac{f(t,y)-f(0,y)}{t}
$$
adesso la funzione che hai tu è la seguente
$$
f(x,y)=\begin{cases}0 & \, se \, (x,y)=(0,y) \\ x^2* sin(y/x) &\, se \, (x,y)\ne(0,y)\end{cases}
$$
sostituiamo i valori nel limite ed avremo
$$
\lim_{t \to 0}\frac{t^2* sin(y/t) -0}{t}=\lim_{t \to 0}t* sin(y/t) =0
$$
Quindi la tua derivata parziale ( definita su tutto $R^2$) è la seguente
$$
f_x(x,y)=\begin{cases}0 & se \, \, (x,y)=(0,y) \\ 2x \sin(\frac{y}{x}) -y\cos(\frac{y}{x})& se \,\,(x,y)\ne(0,y)\end{cases}
$$
Che si può addirittura dimostrare essere continua nell'origine(il che significa che il limite nell'origine della derivata prima esiste) e discontinua in tutti i punti $(0,y)$ con $y\ne 0$
Lo stesso dicasi per la derivata parziale rispetto ad $y$ .
Quello che dici tu(cioè applicare le regolette del calcolo differenziale) è vero e lo fai per tutti i punti in cui sei sicuro che la derivata esista(quindi tutti i punti per cui sei sicuro che quelle regolette valgono), per i punti particolari invece devi ricorrere per forza(anche se non sempre) al limite del rapporto incrementale.
In ogni caso il teorema recita:
Sia $f:U(x_0)\to R$ continua sul proprio dominio e derivabile in $U(x_0) \setminus \{x_0}$ ed esista finito
$$
\lim_{x\to x_0}f'(x)=\gamma
$$
allora $f$ è derivabile in $x_0$ e si ha che $f'(x_0)=\gamma$
allora poiché il limite per $(x,y)\to(0,y)$ delle derivate prime non esiste se non in un caso ( e a maggior ragione esse non sono definite in tali punti) tu con le tecniche di derivazione non sai dirmi se esiste o non esiste la derivata nei punti $(0,y)$ e se esiste non avresti idea di quanto vale.
Adesso il fatto che il limite delle derivate prime in tali punti non esista non mi implica che la funzione in $(0,y)$ non sia derivabile.
Per questo applico la definizione di derivata parziale, che in questo caso posso scrivere come
$$
\lim_{t \to 0}\frac{f(t,y)-f(0,y)}{t}
$$
adesso la funzione che hai tu è la seguente
$$
f(x,y)=\begin{cases}0 & \, se \, (x,y)=(0,y) \\ x^2* sin(y/x) &\, se \, (x,y)\ne(0,y)\end{cases}
$$
sostituiamo i valori nel limite ed avremo
$$
\lim_{t \to 0}\frac{t^2* sin(y/t) -0}{t}=\lim_{t \to 0}t* sin(y/t) =0
$$
Quindi la tua derivata parziale ( definita su tutto $R^2$) è la seguente
$$
f_x(x,y)=\begin{cases}0 & se \, \, (x,y)=(0,y) \\ 2x \sin(\frac{y}{x}) -y\cos(\frac{y}{x})& se \,\,(x,y)\ne(0,y)\end{cases}
$$
Che si può addirittura dimostrare essere continua nell'origine(il che significa che il limite nell'origine della derivata prima esiste) e discontinua in tutti i punti $(0,y)$ con $y\ne 0$
Lo stesso dicasi per la derivata parziale rispetto ad $y$ .
Quello che dici tu(cioè applicare le regolette del calcolo differenziale) è vero e lo fai per tutti i punti in cui sei sicuro che la derivata esista(quindi tutti i punti per cui sei sicuro che quelle regolette valgono), per i punti particolari invece devi ricorrere per forza(anche se non sempre) al limite del rapporto incrementale.
In ogni caso il teorema recita:
Sia $f:U(x_0)\to R$ continua sul proprio dominio e derivabile in $U(x_0) \setminus \{x_0}$ ed esista finito
$$
\lim_{x\to x_0}f'(x)=\gamma
$$
allora $f$ è derivabile in $x_0$ e si ha che $f'(x_0)=\gamma$
Non so come ringraziarti, sei stato chiarissimo! La cosa che mi desta l'ultimo dubbio è questa: lo scopo finale del l'esercizio è trovare il valore numerico delle derivate miste seconde nell'origine: il mio libro riporta come derivata parziale fx soltanto quella calcolata in (0,y) e non anche quella in (x,y), come hai fatto tu. L'ha omessa quindi perché lo scopo ultimo dell'esercizio è individuare il comportamento nell'origine? Ti ringrazio!
Esatto, inoltre chi scrive il libro di solito parte dalle soluzioni, quindi probabilmente sapeva già che non si poteva in questo caso applicare il teorema che ti ho citato poco fa, e quindi sapeva essere inutile ai fini dell'esercizio calcolare la derivata nei punti non di interesse.
Perfetto, grazie mille 
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