Derivate parziali, max e min

[manuelita1992]

scusate non so se questa sia la sezione adatta ma non sapevo dove postare, e mi scuso per i molti post di oggi e grazie ancora per i chiarimenti che mi state dando, venendo a noi quando io devo trovare le derivate miste da dove le prendo mi spiego:
ho una funzione del genere
$f(x;y)=x^3-y^3+xy$ ora in alcuni esercizi viene che dopo aver calcolato la derivata parziale prima di $x$ e quella di $y$ ci siano ancora i termini in $xy$ e la prendo li la derivata di $fxy(x;y)$ ma se non c'è, il valore di questa derivata la devo prendere dalla funzione di partenza? sempre ammesso che ci sia...e un altra domanda se magari nella $f'x(x;y)$ non ho il termine misto, ma ce l'ho solo nella $f'y(x:y)$ prendo quella che trovo li, in quanto essendo continue sono uguali?
grazie non so se sono stata chiara

[Sk_Anonymous]

"manuelita1992":[...] grazie non so se sono stata chiara

In effetti non lo sei stata per niente.

Ad ogni modo: le derivate parziali si calcolano considerando come costante/i la/le variabile/i rispetto a cui non si sta derivando. Per esempio \(\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \) indica che sto considerando la derivata parziale di \(\displaystyle f \) calcolata rispetto alla variabile (o coordinata, se preferisci) \(\displaystyle x \). Nella fattispecie, posto \[\displaystyle f(x,y)= x^3 - y^3 +xy \] si ha \[\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=f_{x}(x,y)=3x^2 + y \] e \[\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=f_{y}(x,y)=3y^2 + x \]
Nel calcolo delle derivate parziali miste ci si comporta similmente: se ti può tornare utile puoi porre \(\displaystyle g(x,y)=f_{x}(x,y) \) e quindi calcolare \[\displaystyle \frac{\partial g(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=f_{yx}(x,y)=1 \]
E via discorrendo.

[manuelita1992]

Scusami infatti, ma sto diventando dislessica per fare molti esercizi XD cmq quello che mi chiedevo era se la derivata mista andava calcolata sempre dalla funzione di partenza, oppure se dovessi avere un termine. Misto nelle derivate prime rispetto a "x" e a "y" se va calcolata lì, non so se sono stata più chiara ora...

[Sk_Anonymous]

"manuelita1992":Scusami infatti, ma sto diventando dislessica per fare molti esercizi XD cmq quello che mi chiedevo era se la derivata mista andava calcolata sempre dalla funzione di partenza, oppure se dovessi avere un termine. Misto nelle derivate prime rispetto a "x" e a "y" se va calcolata lì, non so se sono stata più chiara ora...

Prova a guardare bene il mio esempio, e fai riferimento direttamente a quello nel sottoporre la questione.

[manuelita1992]

guarda ti pongo l'altro esercizio che mi ha creato dubbi dove la derivata mista viene calcolata secondo me dove dico io...
$f(x)=x^3+3xy^2-15x-12y$
$f'x(x;y)=3x^2+3y^2-15$ $f'y(x;y)=6xy-12$ qua la derivata mista mi viene calcolata dalla $f'y(x;y)$ e no dalla $f(x;y)$ quindi io da qua è sorto il dubbio se questa derivata mista va calcolata dalle derivate prime o dalla funzione di partenza
grazie della pazienza XD

[laura1232]

Calcolare la derivata mista $f_{xy}$ significa calcolare la derivata rispetto a $y$ della $f_x$, calcolare la derivata $f_{yx}$ significa calcolare la derivata rispetto a $x$ della $f_y$..poi, sotto opportune condizioni, queste coincidono.
Il fatto che il pedice è $xy$ non significa che ci deve essere il termine misto nella funzione....
Nella tua funzione si ha $f_x(x;y)=3x^2+3y^2−15 $ quindi $f_{xy}=6y$..
se dovevi calcolare $f_{yx}$ dovevi derivare rispetto a $x$ la funzione $f_y$. Capito?

[Brancaleone1]

Tieni inoltre presente che puoi avvalerti del teorema di Schwarz:

Sia $f:A subseteq RR^n->RR$ con $A$ aperto: supponendo che le derivate seconde miste $f_(x,y)$, $f_(y,x)$ esistano in un intorno di $mathbf(x)_0$ e siano ivi entrambe continue, allora esse coincidono in $mathbf(x)_0$.
In particolare, se le derivate seconde miste $f_(x,y)$, $f_(y,x)$ esistono e sono continue in $A$, allora esse coincidono in tutto $A$.

[manuelita1992]

grazie mille a tutti quindi alla fine ho capito, (ecco la parte che mi sfuggiva) che praticamente le derivate miste si calcolano dalle derivate prime, anche se non ci sono i termini misti, e se magari la posso calcolare solo nella derivata prima rispetto a y la posso far valere anche x quell'altra giusto?