Derivate parziali limitate
Salve,
ho dei dubbi sulla risoluzione di un esercizio tratto dal libro di testo "Analisi Matematica I", Pagani-Salsa. Riporto il testo per intero vista la sua brevità: Dimostrare che, se \( f:A \subseteq R^n \to R \), con A aperto ha derivate parziali limitate in A, allora è continua in A.
Diciamo che sono riuscito a produrre una dimostrazione che riporto brevemente di seguito.
Mettiamoci nel caso bidimensionale. Dobbiamo far vedere che:
\( |f(\overline{x}+\overline{h}) - f(\overline{x})| \to 0 \) per \( |h| \to 0 \) ; dove \( \overline{x} \in A \text{ e } \overline{x}+\overline{h} \in A \) .
Notiamo che \( \overline{h} = t \hat{i} + l\hat{j} \). Posso allora definire la seguente funzione:
\(g(t,l) = |f(\overline{x}+ t \hat{i} + l\hat{j}) - f(\overline{x})| = |f(\overline{x}+\overline{h}) - f(\overline{x} + t \hat{i}) + f(\overline{x}+t \hat{i}) - f(\overline{x})| =\\= |l \frac{f(\overline{x}+t \hat{i} + l\hat{j}) - f(\overline{x} + t \hat{i})}{l} + t\frac{f(\overline{x}+t \hat{i}) - f(\overline{x})}{t}|\)
Dunque la condizione di continuità può essere espressa in termini di \(g(t,l)\) come:
\(g(t,l) \to 0\) per \((t,l) \to (0,0)\)
Utilizzando i simboli di Landau possiamo allora scrivere:
\(g(t,l) = |l(f_y(\overline{x}) + o(1)) + t(f_x(\overline{x}) + o(1))|\) per \((t,l) \to (0,0)\)
Per ipotesi le derivate parziali sono funzioni limitate in A:
\( \exists K_1, K_2: -K_1 \leq f_x(\overline{x}) \leq K_1 \wedge -K_2 \leq f_y(\overline{x}) \leq K_2 \qquad \forall \overline{x} \in A\)
Dunque:
\(||l|(-K_2+o(1))+|t|(-K_1+o(1))| \leq g(t,l) \leq ||l|(K_2+o(1))+|t|(K_1+o(1))| \)
Visto che entrambi i termini esterni tendono a 0 per \((t,l) \to (0,0)\) per il teorema del confronto anche \(g(t,l)\) tende a 0. \(\square\)
Il passaggio che mi sembra formalmente meno corretto è l'identificare \(l\frac{f(\overline{x}+t \hat{i} + l\hat{j}) - f(\overline{x} + t \hat{i})}{l}\) con \( l(f_y(\overline{x}) + o(1))\), è formalmente corretta tale scrittura?
D'altra parte, ho ripensato più volte ad una possibile dimostrazione ma non mi viene in mente nessun'altra strada diversa da questa. Volevo dunque chiedervi se aveste in mente altre dimostrazioni per arrivare a tale risultato.
A presto.
ho dei dubbi sulla risoluzione di un esercizio tratto dal libro di testo "Analisi Matematica I", Pagani-Salsa. Riporto il testo per intero vista la sua brevità: Dimostrare che, se \( f:A \subseteq R^n \to R \), con A aperto ha derivate parziali limitate in A, allora è continua in A.
Diciamo che sono riuscito a produrre una dimostrazione che riporto brevemente di seguito.
Mettiamoci nel caso bidimensionale. Dobbiamo far vedere che:
\( |f(\overline{x}+\overline{h}) - f(\overline{x})| \to 0 \) per \( |h| \to 0 \) ; dove \( \overline{x} \in A \text{ e } \overline{x}+\overline{h} \in A \) .
Notiamo che \( \overline{h} = t \hat{i} + l\hat{j} \). Posso allora definire la seguente funzione:
\(g(t,l) = |f(\overline{x}+ t \hat{i} + l\hat{j}) - f(\overline{x})| = |f(\overline{x}+\overline{h}) - f(\overline{x} + t \hat{i}) + f(\overline{x}+t \hat{i}) - f(\overline{x})| =\\= |l \frac{f(\overline{x}+t \hat{i} + l\hat{j}) - f(\overline{x} + t \hat{i})}{l} + t\frac{f(\overline{x}+t \hat{i}) - f(\overline{x})}{t}|\)
Dunque la condizione di continuità può essere espressa in termini di \(g(t,l)\) come:
\(g(t,l) \to 0\) per \((t,l) \to (0,0)\)
Utilizzando i simboli di Landau possiamo allora scrivere:
\(g(t,l) = |l(f_y(\overline{x}) + o(1)) + t(f_x(\overline{x}) + o(1))|\) per \((t,l) \to (0,0)\)
Per ipotesi le derivate parziali sono funzioni limitate in A:
\( \exists K_1, K_2: -K_1 \leq f_x(\overline{x}) \leq K_1 \wedge -K_2 \leq f_y(\overline{x}) \leq K_2 \qquad \forall \overline{x} \in A\)
Dunque:
\(||l|(-K_2+o(1))+|t|(-K_1+o(1))| \leq g(t,l) \leq ||l|(K_2+o(1))+|t|(K_1+o(1))| \)
Visto che entrambi i termini esterni tendono a 0 per \((t,l) \to (0,0)\) per il teorema del confronto anche \(g(t,l)\) tende a 0. \(\square\)
Il passaggio che mi sembra formalmente meno corretto è l'identificare \(l\frac{f(\overline{x}+t \hat{i} + l\hat{j}) - f(\overline{x} + t \hat{i})}{l}\) con \( l(f_y(\overline{x}) + o(1))\), è formalmente corretta tale scrittura?
D'altra parte, ho ripensato più volte ad una possibile dimostrazione ma non mi viene in mente nessun'altra strada diversa da questa. Volevo dunque chiedervi se aveste in mente altre dimostrazioni per arrivare a tale risultato.
A presto.
Risposte
"ihategoto":
[...] Posso allora definire la seguente funzione:
\(g(t,l) = |f(\overline{x}+ t \hat{i} + l\hat{j}) - f(\overline{x})| = |f(\overline{x}+\overline{h}) - f(\overline{x} + t \hat{i}) + f(\overline{x}+t \hat{i}) - f(\overline{x})| =\\= |l \frac{f(\overline{x}+t \hat{i} + l\hat{j}) - f(\overline{x} + t \hat{i})}{l} + t\frac{f(\overline{x}+t \hat{i}) - f(\overline{x})}{t}|\)
La dimostrazione e' corretta piu' o meno, ma potevi farla piu' breve. Fissa infatti un \( \epsilon > 0 \) ed un \(t\) con \( |t| \le \epsilon/(K_1 +1) \). Allora hai che \[ \left| t \frac{f(\bar{x} + t e_1) - f(\bar{x})}{t} \right| \le \epsilon. \] Inoltre esiste sicuramente un \(l \le \epsilon/(K_2 + 1) \) (che in generale dipendera' da \(t\)) tale che \[ \left| l \frac{f(\bar{x} + t e_1 + l e_2) - f(\bar{x}+t e_1)}{l} \right| \le \epsilon. \] Finisci usando l'arbitrarieta' di \(\epsilon\).
Ciao,
comincio ringraziandoti per la risposta. Per completezza riporto la risposta al dubbio che avevo espresso nella domanda a cui sono riuscito a dare un risposta. La scrittura \(l\frac{f(\overline{x}+t\hat{i}+l\hat{j}) - f(\overline{x}+t\hat{i})}{l}\) è identificabile come \(l(f_y(\overline{x}+t\hat{i}) + o(1))\); ma in ogni caso \(\overline{x}+t\hat{i}\) appartiene ad A da un certo \(t'\) in poi, visto che \(\overline{x} \in A\) ed A è aperto. Dunque la dimostrazione nel continuo è la stessa. Riguardo alla tua risposta: l'unico dubbio che ho è sulla notazione; ovvero: le disuguaglianze vanno intese per \(t \to 0\) giusto?
A presto.
comincio ringraziandoti per la risposta. Per completezza riporto la risposta al dubbio che avevo espresso nella domanda a cui sono riuscito a dare un risposta. La scrittura \(l\frac{f(\overline{x}+t\hat{i}+l\hat{j}) - f(\overline{x}+t\hat{i})}{l}\) è identificabile come \(l(f_y(\overline{x}+t\hat{i}) + o(1))\); ma in ogni caso \(\overline{x}+t\hat{i}\) appartiene ad A da un certo \(t'\) in poi, visto che \(\overline{x} \in A\) ed A è aperto. Dunque la dimostrazione nel continuo è la stessa. Riguardo alla tua risposta: l'unico dubbio che ho è sulla notazione; ovvero: le disuguaglianze vanno intese per \(t \to 0\) giusto?
A presto.
"ihategoto":
[...] le disuguaglianze vanno intese per \(t \to 0\) giusto?
Sono valide ogni qualvolta \( |t| \le \epsilon/(K_1 +1 ) \), con \(\epsilon \) fissato (ma arbitrario). La scrittura "\(t \to 0 \)" può dare l'illusione che si tratti di quantità che si muovono. In realtà è solo una notazione che sottende quello che Weierstrass ha formalizzato coi quantificatori.
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