Derivate parziali e direzionali
mi potete spiegare cosa sono le derivate parziali e direzionali? non riesco a capire al 100% il loro significato geometrico
Risposte
Data una funzione $f : Omega rarr R^m$ con $Omega sube R^n$, $Omega$ aperto, dato un punto $x_0 in Omega$, se esiste, finito, il limite:
$lim_(t -> 0) (f(x_o + tv)-f(x_0))/t$
dove $t in R$ e $v in R^n$
Esso è chiamato derivata direzionale di $f$ nel punto $x_0$ lungo la direzione $v$.
Nel caso particolare in cui $v = e_i$ dove $e_i$ è un versore della base canonica di $R^n$ il limite viene chiamato derivata parziale di $f$ nel punto $x_0$ lungo $e_i$
Per quanto riguarda il signifato geometrico, quest'immagine trovata al volo su google vale più di mille parole:
In questo caso hai una funzione da $R^2$ in $R$ , immagina di scegliere un vettore $v in R^2$ e "tagliare" il grafico con un piano passante per quel vettore. In questo piano hai una sezione del grafico, che in pratica è una funzione da $R$ in $R$. Calcolarti la derivata direzionale lungo $v$ in quel punto è come calcolare la derivata "normale" della funzione che c'è lungo la sezione di grafico, nello stesso punto.
$lim_(t -> 0) (f(x_o + tv)-f(x_0))/t$
dove $t in R$ e $v in R^n$
Esso è chiamato derivata direzionale di $f$ nel punto $x_0$ lungo la direzione $v$.
Nel caso particolare in cui $v = e_i$ dove $e_i$ è un versore della base canonica di $R^n$ il limite viene chiamato derivata parziale di $f$ nel punto $x_0$ lungo $e_i$
Per quanto riguarda il signifato geometrico, quest'immagine trovata al volo su google vale più di mille parole:
In questo caso hai una funzione da $R^2$ in $R$ , immagina di scegliere un vettore $v in R^2$ e "tagliare" il grafico con un piano passante per quel vettore. In questo piano hai una sezione del grafico, che in pratica è una funzione da $R$ in $R$. Calcolarti la derivata direzionale lungo $v$ in quel punto è come calcolare la derivata "normale" della funzione che c'è lungo la sezione di grafico, nello stesso punto.
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