Derivate parziali di ordine maggiori del primo, ordine di derivazione
Stavo leggendo alcune dispense di analisi 2 e si discuteva dell'ordine di derivazione nelle derivate seconde miste:
Viene detto che, a meno di opportune ipotesi fatte sulla funzione, in genere si ha che:
$f_{xy} \ne f_{yx}$ e prende come esempio la seguente funzione:
$f(x,y) = \{(\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2}|(x,y) \ne (0,0)),(0 | (x,y)=(0,0)):}$
E dice che si può verificare che $f_{xy} = -1, f_{yx} = 1$
A me non torna però: se non ho capito male ho che vale questo (non scrivo il calcolo del limite ma solo i risultati ottenuti):
$(1) f_x (0,0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(h,0)-0}{h} = 0$ e allo stesso modo:
$(2) f_y (0,0) = \lim_{k \to 0}\frac{f(0,k)-0}{k} = 0$
Adesso non so bene come esprimere la derivata mista in termini di limiti ma se, come credo io, mi basti moltiplicare i risultati dei due limiti, allora ottengo che le derivate miste sono nulle e l'ordine di derivazione è dunque trascurabile. Qualcuno sa dirmi dove sto sbagliando. Sicuramente non posso semplicemente moltiplicare la $(1)$ e la $(2)$ però non vedo altro modo sinceramente. Per quanto riguarda le derivate parziali prime mi sembra di aver applicato correttamente la definizione di derivata parziale (che non riporto su questo thread)
Viene detto che, a meno di opportune ipotesi fatte sulla funzione, in genere si ha che:
$f_{xy} \ne f_{yx}$ e prende come esempio la seguente funzione:
$f(x,y) = \{(\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2}|(x,y) \ne (0,0)),(0 | (x,y)=(0,0)):}$
E dice che si può verificare che $f_{xy} = -1, f_{yx} = 1$
A me non torna però: se non ho capito male ho che vale questo (non scrivo il calcolo del limite ma solo i risultati ottenuti):
$(1) f_x (0,0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(h,0)-0}{h} = 0$ e allo stesso modo:
$(2) f_y (0,0) = \lim_{k \to 0}\frac{f(0,k)-0}{k} = 0$
Adesso non so bene come esprimere la derivata mista in termini di limiti ma se, come credo io, mi basti moltiplicare i risultati dei due limiti, allora ottengo che le derivate miste sono nulle e l'ordine di derivazione è dunque trascurabile. Qualcuno sa dirmi dove sto sbagliando. Sicuramente non posso semplicemente moltiplicare la $(1)$ e la $(2)$ però non vedo altro modo sinceramente. Per quanto riguarda le derivate parziali prime mi sembra di aver applicato correttamente la definizione di derivata parziale (che non riporto su questo thread)
Risposte
La notazione $f_{xy}$ significa $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$; ossia devi derivare $f$ prima rispetto a $y$ e poi rispetto ad $x$ procedendo con le usuali regole di derivazione quando questo è possibile (ossia, dove già sai che $f$ è derivabile parzialmente), mentre devi usare la definizione dove non sai a priori se $f$ è derivabile. La derivazione può essere fatta più volte anche rispetto ad una stessa variabile, ad esempio $f_{x xyx}$ significa: "Deriva $f$ prima rispetto a $x$, poi quello che ottieni derivalo rispetto a $y$, poi quello che ottieni derivalo rispetto a $x$, infine quello che ottieni derivalo rispetto a $x$.". In pratica, la sequenza di derivazione data dal pedice si legge da destra verso sinistra. Quindi, ciò non indica un prodotto tra derivate ma un'iterazione dell'operazione di derivazione.
Ad esempio, se $g(x,y)=\sin(x^2+y)$, essendo $g$ composizione di funzioni indefinitamente derivabili (perché $x^2+y$ è indefinitamente derivabile in $\mathbb{R}^2$ e $\sin t$ è indefinitamente derivabile in $\mathbb{R}$), hai che $g$ è indefinitamente derivabile in tutto $\mathbb{R}^2$ (per funzioni di più variabili, quando si dice "derivabile" senza specificare si sottintende rispetto a tutte le variabili) e per le usuali regole di derivazione risulta:
$$g_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial (\sin(x^2+y))}{\partial y}\right)=\frac{\partial (\cos(x^2+y) \cdot 1)}{\partial x}=[-\sin(x^2+y)]\cdot 2x=-2x\sin(x^2+y)$$
e
$$g_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial (\sin(x^2+y))}{\partial x}\right)$$
$$=\frac{\partial (\cos(x^2+y) \cdot 2x)}{\partial y}=2x[-\sin(x^2+y)\cdot 1]=-2x\sin(x^2+y)$$
avendo trattato una variabile come costante quando si deriva rispetto all'altra e avendo usato la regola di derivazione della funzione composta.
Qui $g_{yx}=g_{yx}$ perché siamo nelle "opportune ipotesi".
Veniamo al tuo esempio: per quanto spiegato prima sulla notazione, non devi moltiplicare i limiti. Dato che per $(x,y) \ne (0,0)$ si ha che $f$ è rapporto di funzioni indefinitamente derivabili in $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$, per ogni $(x,y) \ne (0,0)$ le derivate parziali di $f$ si possono calcolare con le usuali regole di derivazione. Perciò, usando la regola di derivazione del rapporto pensando $x$ come costante, per $(x,y) \ne (0,0)$ risulta:
$$f_y(x,y)=\frac{(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)-2y(x^3y-xy^3)}{(x^2+y^2)^2}$$
Hai correttamente affermato che $f_y(0,0)=0$. Dato che, a priori, non sai se $f_y$ è derivabile parzialmente rispetto a $x$ in $(0,0)$, per calcolare $f_{xy}(0,0)$ devi usare la definizione di derivata parziale rispetto a $x$ usando l'espressione di $f_y(x,y)$ calcolata prima. Ossia:
$$f_{xy}(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{(h^3-3h\cdot 0^2)(h^2+0^2)-2\cdot 0(h^3 \cdot 0-h \cdot 0^3)}{(h^2+0^2)^2}-0}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^5}{h^4}}{h}=\lim_{h \to 0} 1=1$$
Ti lascio da verificare che $f_{yx}(0,0)=-1$, penso che usando questo post come schema da seguire ora sia più semplice. Ovviamente, se hai dubbi scrivi pure qui e li risolviamo insieme!
P.S.: Ci sarebbero vari modi per ridurre i conti, ad esempio uno può notare che $f(y,x)=-f(x,y)$ e quindi c'è una proprietà di simmetria della funzione, oppure si potrebbero usare dei corollari del teorema di Lagrange per calcolare le derivate tramite opportuni limiti fatti dopo aver calcolato con le regole di derivazione le derivate nei punti $(x,y) \ne (0,0)$. Ma qui mi interessava farti capire bene cosa sta succedendo con la definizione, perché mi pare che tu stia studiando in autonomia questi argomenti. Quindi ho preferito evitarli per non confonderti.
Ad esempio, se $g(x,y)=\sin(x^2+y)$, essendo $g$ composizione di funzioni indefinitamente derivabili (perché $x^2+y$ è indefinitamente derivabile in $\mathbb{R}^2$ e $\sin t$ è indefinitamente derivabile in $\mathbb{R}$), hai che $g$ è indefinitamente derivabile in tutto $\mathbb{R}^2$ (per funzioni di più variabili, quando si dice "derivabile" senza specificare si sottintende rispetto a tutte le variabili) e per le usuali regole di derivazione risulta:
$$g_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial (\sin(x^2+y))}{\partial y}\right)=\frac{\partial (\cos(x^2+y) \cdot 1)}{\partial x}=[-\sin(x^2+y)]\cdot 2x=-2x\sin(x^2+y)$$
e
$$g_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial (\sin(x^2+y))}{\partial x}\right)$$
$$=\frac{\partial (\cos(x^2+y) \cdot 2x)}{\partial y}=2x[-\sin(x^2+y)\cdot 1]=-2x\sin(x^2+y)$$
avendo trattato una variabile come costante quando si deriva rispetto all'altra e avendo usato la regola di derivazione della funzione composta.
Qui $g_{yx}=g_{yx}$ perché siamo nelle "opportune ipotesi".
Veniamo al tuo esempio: per quanto spiegato prima sulla notazione, non devi moltiplicare i limiti. Dato che per $(x,y) \ne (0,0)$ si ha che $f$ è rapporto di funzioni indefinitamente derivabili in $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$, per ogni $(x,y) \ne (0,0)$ le derivate parziali di $f$ si possono calcolare con le usuali regole di derivazione. Perciò, usando la regola di derivazione del rapporto pensando $x$ come costante, per $(x,y) \ne (0,0)$ risulta:
$$f_y(x,y)=\frac{(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)-2y(x^3y-xy^3)}{(x^2+y^2)^2}$$
Hai correttamente affermato che $f_y(0,0)=0$. Dato che, a priori, non sai se $f_y$ è derivabile parzialmente rispetto a $x$ in $(0,0)$, per calcolare $f_{xy}(0,0)$ devi usare la definizione di derivata parziale rispetto a $x$ usando l'espressione di $f_y(x,y)$ calcolata prima. Ossia:
$$f_{xy}(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{(h^3-3h\cdot 0^2)(h^2+0^2)-2\cdot 0(h^3 \cdot 0-h \cdot 0^3)}{(h^2+0^2)^2}-0}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^5}{h^4}}{h}=\lim_{h \to 0} 1=1$$
Ti lascio da verificare che $f_{yx}(0,0)=-1$, penso che usando questo post come schema da seguire ora sia più semplice. Ovviamente, se hai dubbi scrivi pure qui e li risolviamo insieme!
P.S.: Ci sarebbero vari modi per ridurre i conti, ad esempio uno può notare che $f(y,x)=-f(x,y)$ e quindi c'è una proprietà di simmetria della funzione, oppure si potrebbero usare dei corollari del teorema di Lagrange per calcolare le derivate tramite opportuni limiti fatti dopo aver calcolato con le regole di derivazione le derivate nei punti $(x,y) \ne (0,0)$. Ma qui mi interessava farti capire bene cosa sta succedendo con la definizione, perché mi pare che tu stia studiando in autonomia questi argomenti. Quindi ho preferito evitarli per non confonderti.
Grazie mille Mephlip. Davvero un'ottima spiegazione. Non avevo posto grandissima attenzione alla notazione e ho quindi inteso un prodotto di derivate della funzione di partenza
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