Derivate parziali di ordine > 1 di funzioni di due variabili

[SteezyMenchi]

Salve a tutti. Come ieri sto ancora combattendo con le derivate parziali:
In sostanza (tralasciando tutte le cose che suppongo chi abbia affrontato analisi 2 già conosca e usando la notazione qui utilizzata) viene detto che se
$x = x(\phi, \eta), y = y(\phi, \eta), f(x,y)$ sono funzioni differenziabili allora la funzione composta:
$f(\phi, \eta) = f(x(\phi,\eta),y(\phi,\eta))$ è anch'essa differenziabile e quindi le sue derivate parziali sono date da:
$\{(f_\phi = f_x x_\phi+f_y y_\phi),(f_\eta = f_x x_\eta+f_y y_\eta):}$
Come esercizio fa calcolare le derivate parziali nel caso del passaggio da coordinate cartesiane $x,y$ a polari $r,\theta$. Io ho fatto così(spero di non aver sbagliato nulla stavolta):
$z = f(x,y) = f(rcos\theta, rsin\theta)$ ove ho posto ovviamente $x= rcos\theta, y= rsin\theta$
Alla fine ho ottenuto:
$\{(f_r = f_xcos\theta+f_ysin\theta),(f_\theta =- f_xrsin\theta+f_yrcos\theta):}$
Fin qui tutto ok, poi mostra le derivate seconde, senza tuttavia svolgere alcun calcolo (ovviamente) e non riesco a capire come continuare:
$f_{rr} =\frac{\partial (f_xcos\theta+f_ysin\theta)}{\partial r} = f_{x x}(cos\theta)^2+2f_{xy}sin\thetacos\theta+f_{yy}(sin\theta)^2$. Non riporto le altre metterò un'immagine in pdf altrimenti ci vuole troppo tempo.
Qualcuno potrebbe dirmi come ottenere anche solo la prima formula e il ragionamento che devo fare

[Cannelloni1]

Se ho capito bene vuoi giustificare questa uguaglianza
$$ f_{rr} =\frac{\partial (f_x\cos\theta+f_y\sin\theta)}{\partial r} = f_{x x}(\cos\theta)^2+2f_{xy}\sin\theta \cos\theta+f_{yy}(\sin\theta)^2 $$
In questo caso allora la risposta è: linearità delle derivate + caso precedente

Quindi
$$\frac{\partial (f_x\cos\theta+f_y\sin\theta)}{\partial r} = \frac{\partial (f_x\cos\theta)}{\partial r}+\frac{\partial (f_y\sin\theta)}{\partial r}$$
Studiamo uno degli addendi
$$\frac{\partial (f_x\cos\theta)}{\partial r} = \frac{\partial f_x}{\partial r}\cos\theta$$
Questo perché $\cos\theta$ non dipende da $r$, se no si usava la classica formula del prodotto
$$\frac{\partial f_x}{\partial r} = (f_x)_r = (f_x)_x\cos\theta+(f_x)_y\sin\theta$$
e qui osserva come abbiamo effettivamente usato il [highlight]caso precedente[/highlight].
A questo punto, radunando i vari pezzi otteniamo
$$\frac{\partial (f_x\cos\theta)}{\partial r} = f_{x x}(\cos\theta)^2+f_{xy}\sin\theta\cos\theta$$
Si conclude facendo anche il secondo addendo e ricordando che (sotto opportune ipotesi) $f_{xy} = f_{yx}$ (ecco perché nel risultato finale abbiamo quel $2f_{xy}\sin\theta \cos\theta$)

Le altre si fanno tutte al solito modo, con un po' di attenzione e molta molta pazienza si arriva in fondo!

[SteezyMenchi]

Ero arrivato al passaggio subito dopo "Questo perché $cos\theta$ non dipende da r, se no si usava la classica formula del prodotto". Poi mi ero chiesto (e qui forse sto sbagliando): la mia derivata rispetto a $x$ sarà sicuramente ancora un'espressione in cui compaiono $r, \theta$ e quindi avevo pensato di riapplicare la formula precedente come tu hai fatto, però non ero sicuro al 100% di questo passaggio e per questo ho chiesto qui sul forum.

Fermi tutti:
Ho appena notato un tuo passaggio che non mi è chiaro:
Tu hai scritto: $(f_x)_y sin\theta$ che poi è diventato $sin\thetacos\theta f_{xy}$. Ma nell'ultimo passaggio si intende che stiamo prendendo la derivata rispetto alla $y$ della derivata rispetto alla $x$, e quindi l'ordine corretto (senza sapere a priori che le derivate siano interscambiabili) dovrebbe essere $sin\thetacos\theta f_{yx}$

P.S. Mi sono dimenticato di ringraziarti, infatti al di là del mio ultimo dubbio, sono riuscito a calcolarle tutte e tre grazie al tuo aiuto