Derivate parziali di funzione e omogeneità

[sangi89]

Ciato a tutti, sto preparando l'esame di analisi 2, e ho il seguente esercizio

sia [tex]f:R^{2}\(0,0) in R[/tex]definita da:
[tex](x,y):=\frac{x^{3}-3xy^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}}}[/tex]

Estesa f a tutto[tex]R^{2}[/tex] con il valore 0 nell'origine, calcolare se esistono, le derivate seconde miste [tex]f_{xy}(0,0) e f_{yx}(0,0)[/tex]

Verificare se f è positivamente omogenera su [tex]f:R^{2}\(0,0)[/tex] ed il grado con la definizione e il teorema di eulero...
Potreste aiutarmi??

[gugo82]

Idee tue?

[sangi89]

il problema dell'omogeneità positiva l'ho risolto, ho trovato finalmente il teorema di eulero che non riuscivo a trovare tra le mie dispense per quanto riguarda le derivate miste, non so da cosa derivare se esistono o meno..

[gugo82]

Provato a fare il conto coi rapporti incrementali delle derivate prime?


P.S.: Tra l'altro, la positiva omogeneità era davvero banale: infatti la tua funzione è rapporto di un polinomio omogeneo di terzo grado e di una funzione positivamente omogenea di primo grado, quindi essa è positivamente omogenea di grado \(2\).

[sangi89]

Facendo il $lim_(x->0)(f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0))/x$$=lim_(x->0)(0/0)/y$$$ che quindi non esiste
$lim_(y->0)(f_{x}(0,y)-f_{x}(0,0))/y$$=lim_(y->0)(-6y^2/y^3)/y$$$ che quindi non esiste neanche questa

va bene così?