Derivate parziali della funzione norma
Mi servirebbe sapere,in teoria,come si definiscono le derivate parziali della funzione norma...in giro sul web non ho trovato nulla e nemmeno sul libro..ma il prof l'ha messo nel programma 
Risposte
Beh, niente di complicato...
La norma euclidea è la funzione:
\[
\mathbb{R}^N \ni x=(x_1,\ldots ,x_N) \mapsto \lVert x\rVert := \sqrt{x_1^2+\ldots +x_N^2}\in [0,\infty[\; ,
\]
ergo per ogni fissato \(n\in \{1,\ldots ,N\}\) risulta:
\[
\frac{\partial}{\partial x_n} \lVert x\rVert = \frac{x_n}{\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}} =\frac{1}{\lVert x\rVert}\ x_n
\]
e dunque:
\[
\nabla (\lVert x\rVert) =\frac{1}{\lVert x\rVert}\ x\; .
\]
La norma euclidea è la funzione:
\[
\mathbb{R}^N \ni x=(x_1,\ldots ,x_N) \mapsto \lVert x\rVert := \sqrt{x_1^2+\ldots +x_N^2}\in [0,\infty[\; ,
\]
ergo per ogni fissato \(n\in \{1,\ldots ,N\}\) risulta:
\[
\frac{\partial}{\partial x_n} \lVert x\rVert = \frac{x_n}{\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}} =\frac{1}{\lVert x\rVert}\ x_n
\]
e dunque:
\[
\nabla (\lVert x\rVert) =\frac{1}{\lVert x\rVert}\ x\; .
\]
Ma no, non si "definiscono". Si calcolano. Siccome
\[\lVert (x_1 \ldots x_n) \rVert= \sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}, \qquad (x_1\ldots x_n) \in \mathbb{R}^n, \]
le derivate parziali sono
\[\frac{\partial\lVert (x_1 \ldots x_n) \rVert}{\partial x_i}=\frac{x_i}{\sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}}, \qquad (x_1 \ldots x_n) \ne ( 0 \ldots 0).\]
PS: Gugo mi ha anticipato, ma comunque posto lo stesso, chissà che il post non sia utile.
\[\lVert (x_1 \ldots x_n) \rVert= \sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}, \qquad (x_1\ldots x_n) \in \mathbb{R}^n, \]
le derivate parziali sono
\[\frac{\partial\lVert (x_1 \ldots x_n) \rVert}{\partial x_i}=\frac{x_i}{\sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}}, \qquad (x_1 \ldots x_n) \ne ( 0 \ldots 0).\]
PS: Gugo mi ha anticipato, ma comunque posto lo stesso, chissà che il post non sia utile.
grazie mille a tutti e due 
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