Derivate parziali
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano riguardo ad un passo del mio testo di Analisi 2.
Si parla di derivate direzionali di funzioni $f:A rarr RR$ con $A sube RR^n$ aperto. Ad un certo punto dice che
Nel caso in cui la funzione è derivabile lungo la direzione del vettore $v=e_i$, i=1,...n allora f si dice parzialmente derivabile rispetto a $x_i$. Il limite si chiama derivata parziale della funzione f rispetto alla variabile $x_i$ nel punto $x_0$ e si denota con uno dei seguenti simboli
$(partial f (x_0))/(partial e_i)$,$(partial f (x_0))/(partial x_i)$,$f_(x_i)(x_0)$
Che tipo di vettore si intende con $v=e_i$? E cosa sarebbe $x_i$
volevo chiedervi una mano riguardo ad un passo del mio testo di Analisi 2.
Si parla di derivate direzionali di funzioni $f:A rarr RR$ con $A sube RR^n$ aperto. Ad un certo punto dice che
Nel caso in cui la funzione è derivabile lungo la direzione del vettore $v=e_i$, i=1,...n allora f si dice parzialmente derivabile rispetto a $x_i$. Il limite si chiama derivata parziale della funzione f rispetto alla variabile $x_i$ nel punto $x_0$ e si denota con uno dei seguenti simboli
$(partial f (x_0))/(partial e_i)$,$(partial f (x_0))/(partial x_i)$,$f_(x_i)(x_0)$
Che tipo di vettore si intende con $v=e_i$? E cosa sarebbe $x_i$
Risposte
\(e_{i}\) è l' \(i-\)esimo vettore unitario della base di \(\mathbb{R}^{n}\) e \(x_{i}\) è la sua \(i-\)esima coordinata.
"maxsiviero":
\(e_{i}\) è l' \(i-\)esimo vettore unitario della base di \(\mathbb{R}^{n}\) e \(x_{i}\) è la sua \(i-\)esima coordinata.
Mi potresti fare un esempio?
Non ho capito se vuoi un esempio di derivata parziale o un esempio per capire chi è $e_i$. Comunque, puoi provare a cercare su un qualunque libro di testo, sono cose che sicuramente trovi.
Mi serve un esempio di cosa sia $e_i$.
Sai che cos'è una base ortonormale? Se sì, prendi $RR^2$: allora $e_1=(1,0)$. Lascio a te scoprire chi sarà mai $e_2$... 
Se non mi sbaglio è una base di vettori di norma unitaria. Quindi $e_2=(0,1)$Giusto?
Ok.
"maxsiviero":
\(e_{i}\) è l' \(i-\)esimo vettore unitario della base di \(\mathbb{R}^{n}\)
Significa che, rimanendo nel campo $\mathbb{R}^2$, gli $e_i$ sono semplicemente $e_1:(1,0)$ ed $e_2:(0,1)$ che costituiscono appunto una base per tale campo.
Nel campo $\mathbb{R}^n$, gli $e_i$ sono $e_1:(1,0,0,...,0_n)$, $e_2:(0,1,0,...,0_n)$, ... , $e_n:(0,0,0,...,1)$ versori unitari.
Per definizione tutti gli $e_i$ sono orientati lungo uno degli assi del campo, perciò (prendendo sempre come esempio $\mathbb{R}^2$) calcolare la derivata rispetto a $e_1$ significa calcolare la derivata parziale rispetto a $x$, cioé $f_x=\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)$
Capito. Un'ultima cosa. Perché si dice derivata parziale rispetto ad $x_i$.
Perché derivi la funzione rispetto a $x_i$ , cioè consideri quella come variabile indipendente rispetto a cui calcolare la derivata, e tratti le altre come se fossero numeri!
Non capisco cosa sia $x_i$
Per intenderci: se dovessimo scrivere il gradiente di una funzione in $\mathbb{R}^3$ esso avrebbe forma
$\nabla f(x_1,x_2,x_3) = (\frac{\partial}{\partial x_1} f(x_1,x_2,x_3) , \frac{\partial}{\partial x_2} f(x_1,x_2,x_3) , \frac{\partial}{\partial x_3} f(x_1,x_2,x_3) )$
solo che noi comunemente, anziché scriverlo in questo modo, "preferiamo" scrivere così
$\nabla f(x,y,z) = (\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) , \frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) , \frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) )$ dove $x_1=x$, $x_2=y$, $x_3=z$,
ma è la stessa cosa.
$x_i$ è dunque la $i \text{-esima}$ variabile della funzione $f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, ... , x_n)$, dove $\mathbf{x}$ è un elemento di $\mathbb{R}^n$
$\nabla f(x_1,x_2,x_3) = (\frac{\partial}{\partial x_1} f(x_1,x_2,x_3) , \frac{\partial}{\partial x_2} f(x_1,x_2,x_3) , \frac{\partial}{\partial x_3} f(x_1,x_2,x_3) )$
solo che noi comunemente, anziché scriverlo in questo modo, "preferiamo" scrivere così
$\nabla f(x,y,z) = (\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) , \frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) , \frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) )$ dove $x_1=x$, $x_2=y$, $x_3=z$,
ma è la stessa cosa.
$x_i$ è dunque la $i \text{-esima}$ variabile della funzione $f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, ... , x_n)$, dove $\mathbf{x}$ è un elemento di $\mathbb{R}^n$
Ora è un po' più chiaro. Grazie.
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