Derivate parziali
Calcolare fx(0,1) dove
$ f(x,y)={ ( ((e^(x^2)-1)y)/x se x != 0 ),( 0 se x = 0 ):} $
la derivata parziale rispetto a x mi viene
$ ((e^(x^2)-1)y)/x=(2xe^(x^2)-(e^(x^2)-1)y)/x^2=(2x^2e^(x^2)-ye^(x^2)+y)/x^2 $
ora è possibile fare una cosa del genere...
$ (2x^2e^(x^2)-ye^(x^2)+y)/x^2=(2x^2e^(x^2))/x^2+(y-ye^(x^2))/x^2=2+0/0 $
il risultato immagino non sia 2 perchè rimane una parte che è indeterminata...o sbaglio ?!?
dove ho sbagliato ?!?
$ f(x,y)={ ( ((e^(x^2)-1)y)/x se x != 0 ),( 0 se x = 0 ):} $
la derivata parziale rispetto a x mi viene
$ ((e^(x^2)-1)y)/x=(2xe^(x^2)-(e^(x^2)-1)y)/x^2=(2x^2e^(x^2)-ye^(x^2)+y)/x^2 $
ora è possibile fare una cosa del genere...
$ (2x^2e^(x^2)-ye^(x^2)+y)/x^2=(2x^2e^(x^2))/x^2+(y-ye^(x^2))/x^2=2+0/0 $
il risultato immagino non sia 2 perchè rimane una parte che è indeterminata...o sbaglio ?!?
dove ho sbagliato ?!?
Risposte
Non ho controllato i conti... ma perché non provi a fare il limite? 
Paola
Paola
ma solo della parte che viene 0/0 provo a fare il limite...?
sino a lì può andare come ragionamento no ?
sino a lì può andare come ragionamento no ?
Se devi calcolare le derivate parziali in punti "particolari" ti conviene usare la definizione di derivata: in questo caso
[tex]$f_x(0,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(e^{h^2}-1)y}{h^2}=y$[/tex]
usando il limite notevole [tex]$\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1$[/tex]. Te lo ripeto Crisso: il fatto che tu stia facendo Analisi II non implica che ti possa dimenticare delle cose ovvie e "banali" di Analisi I.
[tex]$f_x(0,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(e^{h^2}-1)y}{h^2}=y$[/tex]
usando il limite notevole [tex]$\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1$[/tex]. Te lo ripeto Crisso: il fatto che tu stia facendo Analisi II non implica che ti possa dimenticare delle cose ovvie e "banali" di Analisi I.
grazie, ora provo...
hai ragione, ma se non si ha delle basi solide (scuole superiori) come non ho avuto io, è difficile ,anche se si studia molto, avere la velocità ed efficacia nei ragionamenti che puoi avere tu o altre persone che hanno queste basi...funziona così per tutto...se uno comincia a giocare a pallone a 20 anni, può allenarsi quanto vuole ma non diventerà mai come quello che gioca da quando ne ha 8...
cmq...tornando ad analisi...visto che mi hai risposto tu ora ne aprofitto per chiederti un'altra cosa...nell'altro post, quello dei limiti, quando si fa un confronto asintotico...c'è un motivo perchè ti sei fermato al 2° grado nell'approssimazione con il polinomio di Taylor ?
hai ragione, ma se non si ha delle basi solide (scuole superiori) come non ho avuto io, è difficile ,anche se si studia molto, avere la velocità ed efficacia nei ragionamenti che puoi avere tu o altre persone che hanno queste basi...funziona così per tutto...se uno comincia a giocare a pallone a 20 anni, può allenarsi quanto vuole ma non diventerà mai come quello che gioca da quando ne ha 8...
cmq...tornando ad analisi...visto che mi hai risposto tu ora ne aprofitto per chiederti un'altra cosa...nell'altro post, quello dei limiti, quando si fa un confronto asintotico...c'è un motivo perchè ti sei fermato al 2° grado nell'approssimazione con il polinomio di Taylor ?
E' solo una questione logica capire "dove" fermarsi: in quel caso, a me basta far apparire a numeratore il primo termine non nullo, ed essendoci un $-1$ che cancella $1$ dello sviluppo del coseno, mi è sufficiente arrestarmi a quel termine che ho scritto. Se avessi avuto una cosa del tipo
[tex]$24\cos t-24+12t^2-t^4\sim 6\left(1-t^2/2+t^4/24-t^6/720+o(t^6)\right)-24+12t^2-t^4=-t^6/720+o(t^6)$[/tex]
e come vedi, la presenza di termini che ne cancellano molti dello sviluppo mi costringe ad andare avanti.
[tex]$24\cos t-24+12t^2-t^4\sim 6\left(1-t^2/2+t^4/24-t^6/720+o(t^6)\right)-24+12t^2-t^4=-t^6/720+o(t^6)$[/tex]
e come vedi, la presenza di termini che ne cancellano molti dello sviluppo mi costringe ad andare avanti.
ok...ho capito...alla fine è un fatto di convenienza giusto...?
è chiaro che più vado avanti nello sviluppo di Taylor e meglio il polinomio approssima la funzione, però a me interessa risolvere il mio limite e quindi devo fermarmi dove poi mi risulta più semplice semplificare la mia funzione...ho capito bene no ?
è chiaro che più vado avanti nello sviluppo di Taylor e meglio il polinomio approssima la funzione, però a me interessa risolvere il mio limite e quindi devo fermarmi dove poi mi risulta più semplice semplificare la mia funzione...ho capito bene no ?
Più o meno: quello che ti serve è sostituire la funzione nel limite con la sua parte principale che, in parole povere, è il primo termine non nullo che ottieni sviluppando con Taylor e/o usando i confronti locali.
calcolare fy(1,0) dove
$ f(x,y)={ ( ((e^(-y^2)-1)x)/y se y != 0 ),( 0 se y=0 ):} $
con la definzione di derivata parziale
$ fy(1,0)=lim_(k -> 0) (f(1,k)-f(1,0))/k=(e^(-k^2)-1)/k^2 $
a questi punti ho applicato la regola di de l'Hopital
$ (e^(-k^2)-1)/k^2=(-2ke^(-k^2))/(2k)=-e^(-k^2)=-1 $
calcolare fx(0,0) dove
$ f(x,y)={ ( (e^x^3-1)/(x^2+y^2) se (x.y) != (0.0) ),( 0 se (x.y)=(0.0) ):} $
con la definizione di derivata parziale
$ fx(0,0)=lim_(h -> 0) (f(h,0)-f(0,0))/h=(e^h^3-1)/h^3=1 $
spero di aver capito e che siano giuste...attendo conferma o eventuale correzione
$ f(x,y)={ ( ((e^(-y^2)-1)x)/y se y != 0 ),( 0 se y=0 ):} $
con la definzione di derivata parziale
$ fy(1,0)=lim_(k -> 0) (f(1,k)-f(1,0))/k=(e^(-k^2)-1)/k^2 $
a questi punti ho applicato la regola di de l'Hopital
$ (e^(-k^2)-1)/k^2=(-2ke^(-k^2))/(2k)=-e^(-k^2)=-1 $
calcolare fx(0,0) dove
$ f(x,y)={ ( (e^x^3-1)/(x^2+y^2) se (x.y) != (0.0) ),( 0 se (x.y)=(0.0) ):} $
con la definizione di derivata parziale
$ fx(0,0)=lim_(h -> 0) (f(h,0)-f(0,0))/h=(e^h^3-1)/h^3=1 $
spero di aver capito e che siano giuste...attendo conferma o eventuale correzione
Che siano giuste, lo sono.... però nel primo, usare de l'Hopital (che usa la derivata) per dimostrare che tale derivata esiste... 
è la prima cosa che mi è venuta in mente...tu come l'avresti proseguito a quel punto ?
Usando, come hai fatto anche dopo, il fatto che [tex]$e^t-1\sim t,\ t\to 0$[/tex]?
ok...quindi se
$ lim_(t -> 0) (e^t-1)/t=1 $
se invece l'esponente ha segno discorde con il denominatore il limite notevole vale -1
$ lim_(t -> 0) (e^(-t)-1)/t=-1 $
$ lim_(t -> 0) (e^t-1)/t=1 $
se invece l'esponente ha segno discorde con il denominatore il limite notevole vale -1
$ lim_(t -> 0) (e^(-t)-1)/t=-1 $
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