Derivate parziali
salve , devo risolvere questo esercizio
mi chiede di vedere è possibile fare la derivata parziale delle seguenti funzioni e nel caso di rispsta affermativa di calcolarle.
per esempio:
f(x,y)= x acrtg (y/x)
per vedere se esiste la derivata parziale immagino che devo applicare la definizione mediante il limite del rapporto incrementale giusto?però non so come procedere per far vedere che tale limite esiste e poi per calcolarle.mi potreste far vedere
grazie
mi chiede di vedere è possibile fare la derivata parziale delle seguenti funzioni e nel caso di rispsta affermativa di calcolarle.
per esempio:
f(x,y)= x acrtg (y/x)
per vedere se esiste la derivata parziale immagino che devo applicare la definizione mediante il limite del rapporto incrementale giusto?però non so come procedere per far vedere che tale limite esiste e poi per calcolarle.mi potreste far vedere
grazie
Risposte
La $f$ è composta mediante funzioni "belle" (cioè di classe $C^oo$) a meno di $y/x$ che non è definita e quindi non derivabile nei punti con $x=0$.
Ne consegue che la tua $f$ è sicuramente di classe $C^oo$ nei punti di $RR^2$ che non appartengono all'asse $y$ (che sono appunto quelli con $x=0$!).
D'altra parte, puoi prolungare con continuità la tua $f$ in ogni punto dell'asse $y$ ponendo $f(0,y)=0$ poiché infatti $f$ è prodotto di una funzione infinitesima (ossia $x$) e di una funzione limitata (cioè $arctan (y/x)$): quindi ti puoi porre il problema della derivabilità di $f$ anche nei punti dell'asse $y$.
Visto che, per ogni $y \in RR$, si ha $f(0,y)=0$, i rapporti incrementali rispetto a $y$ in ogni punto dell'asse $y$ sono nulli: perciò nei punti del tipo $(0,y)$ si ha $(\partial f)/(\partial y)(0,y)=0$.
Fissato $(0,y)$, proviamo a vedere come sono fatti i rapporti incrementali rispetto a $x$: scelto $h!=0$, trovi:
$\quad \phi (h;y):= (f(h,y)-f(0,y))/h=(h*arctan (y/h))/h=arctan (y/h)$;
ora se $y=0$ (cioè nell'origine), hai $\phi (h;0)=arctan (0)=0$, quindi la derivata "imparziale" $(\partial f)/(\partial x)$ in $(0,0)$ esiste ed è nulla; se $y>0$ hai invece:
$\quad \phi (h;y)=arctan (y/h) \{(>0, " se " h>0),(<0 ," se " h<0):} \quad $ e $\quad lim_(h\to 0^+) \phi(h;y)=pi/2!=-pi/2=lim_(h\to 0^-) \phi(h;y)$,
cosicché la derivata "imparziale" $(\partial f)/(\partial x)$ non esiste in alcun $(0,y)$ con $y>0$; analoga situazione si presenta se $y<0$, quindi la derivata "imparziale" $(\partial f)/(\partial x)$ non esiste in nessun $(0,y)$ nemmeno per $y<0$.
Ricapitolando, $f$ (o meglio il suo prolungamento continuo) è derivabile dappertutto rispetto a $y$ epperò è derivabile rispetto ad $x$ solo nei punti di $RR^2\setminus \{ (0,y) : |y|>0\}$.
Ovviamente il tutto salvo errori grossolani; ricontrolla i calcoli.
Ne consegue che la tua $f$ è sicuramente di classe $C^oo$ nei punti di $RR^2$ che non appartengono all'asse $y$ (che sono appunto quelli con $x=0$!).
D'altra parte, puoi prolungare con continuità la tua $f$ in ogni punto dell'asse $y$ ponendo $f(0,y)=0$ poiché infatti $f$ è prodotto di una funzione infinitesima (ossia $x$) e di una funzione limitata (cioè $arctan (y/x)$): quindi ti puoi porre il problema della derivabilità di $f$ anche nei punti dell'asse $y$.
Visto che, per ogni $y \in RR$, si ha $f(0,y)=0$, i rapporti incrementali rispetto a $y$ in ogni punto dell'asse $y$ sono nulli: perciò nei punti del tipo $(0,y)$ si ha $(\partial f)/(\partial y)(0,y)=0$.
Fissato $(0,y)$, proviamo a vedere come sono fatti i rapporti incrementali rispetto a $x$: scelto $h!=0$, trovi:
$\quad \phi (h;y):= (f(h,y)-f(0,y))/h=(h*arctan (y/h))/h=arctan (y/h)$;
ora se $y=0$ (cioè nell'origine), hai $\phi (h;0)=arctan (0)=0$, quindi la derivata "imparziale" $(\partial f)/(\partial x)$ in $(0,0)$ esiste ed è nulla; se $y>0$ hai invece:
$\quad \phi (h;y)=arctan (y/h) \{(>0, " se " h>0),(<0 ," se " h<0):} \quad $ e $\quad lim_(h\to 0^+) \phi(h;y)=pi/2!=-pi/2=lim_(h\to 0^-) \phi(h;y)$,
cosicché la derivata "imparziale" $(\partial f)/(\partial x)$ non esiste in alcun $(0,y)$ con $y>0$; analoga situazione si presenta se $y<0$, quindi la derivata "imparziale" $(\partial f)/(\partial x)$ non esiste in nessun $(0,y)$ nemmeno per $y<0$.
Ricapitolando, $f$ (o meglio il suo prolungamento continuo) è derivabile dappertutto rispetto a $y$ epperò è derivabile rispetto ad $x$ solo nei punti di $RR^2\setminus \{ (0,y) : |y|>0\}$.
Ovviamente il tutto salvo errori grossolani; ricontrolla i calcoli.
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