Derivate parziali
Sia $f:R->R^3$ differenziabile tale che $nablaf(4,1,6)=(1/4,7,-1/6)$ e $ phi:R^2->R $ data da $phi(x,y)=f(4xy^4,x,6x^6y^4)$.
Allora $(partial phi)/(partial y) (1,1) $ vale......
Ciao ragazzi ho questo problema che mi afflige, credo sia semplice però non riesco a risolverlo...
Ho pensato di fare le derivate parziali di f rispetto la variabile y ed ho ottenuto:$(12xy^2,0,24x^6y^3)$ poi ho pensato di sostituire le coordinate del punto (1,1) nel risultato precedentemente ottenuto ma i torni non tornano... cosa sbaglio?
Allora $(partial phi)/(partial y) (1,1) $ vale......
Ciao ragazzi ho questo problema che mi afflige, credo sia semplice però non riesco a risolverlo...
Ho pensato di fare le derivate parziali di f rispetto la variabile y ed ho ottenuto:$(12xy^2,0,24x^6y^3)$ poi ho pensato di sostituire le coordinate del punto (1,1) nel risultato precedentemente ottenuto ma i torni non tornano... cosa sbaglio?
Risposte
Devi usare la derivazione delle funzione composta, ovvero $\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial y}+ \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial y}+ \frac{\partial f}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial y}$, avendo posto $f=f(x_1,x_2,x_3)$.
Grazie mille della risposta, ma come si fa a calcolare $(partial x1)/(partial y)$?
$x_1(x,y)=4xy^3$...
"Luca.Lussardi":
$x_1(x,y)=4xy^3$...
scusami ma continuo a non capire
$\phi$ è una funzione composta, e precisamente, per esteso, $\phi(x,y)=f(x_1(x,y),x_2(x,y),x_3(x,y))$. Il teorema di derivazione della funzione composta afferma allora che $\frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y)=
\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1(x,y),x_2(x,y),x_3(x,y))\frac{\partial x_1}{\partial y}(x,y)+
\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1(x,y),x_2(x,y),x_3(x,y))\frac{\partial x_2}{\partial y}(x,y)+
\frac{\partial f}{\partial x_3}(x_1(x,y),x_2(x,y),x_3(x,y))\frac{\partial x_3}{\partial y}(x,y)$.
Nel tuo caso sai che $x_1(x,y)=4xy^3$, $x_2(x,y)=x$ e $x_3(x,y)=6x^6y^4$, inoltre hai informazioni sulle derivate parziali di $f$ nel punto giusto.
\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1(x,y),x_2(x,y),x_3(x,y))\frac{\partial x_1}{\partial y}(x,y)+
\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1(x,y),x_2(x,y),x_3(x,y))\frac{\partial x_2}{\partial y}(x,y)+
\frac{\partial f}{\partial x_3}(x_1(x,y),x_2(x,y),x_3(x,y))\frac{\partial x_3}{\partial y}(x,y)$.
Nel tuo caso sai che $x_1(x,y)=4xy^3$, $x_2(x,y)=x$ e $x_3(x,y)=6x^6y^4$, inoltre hai informazioni sulle derivate parziali di $f$ nel punto giusto.
Grazie della risposta, allora ho capito che $(partialx1)/(partial y)(x,y)=16xy^3$,
per quanto riguarda invece $ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1(x,y),x_2(x,y),x_3(x,y))$ non capisco se devo derivare (e rispetto a cosa?) solo $x_1$, gli altri poi li lascio intatti?
Se invece non facessi così, alla fine devo moltiplicare $x_1,x_2,x_3$ per $16xy^3$?
Ragionando, ho dedotto che il secondo membro della somma è uguale a zero quindi il problema si riduce a calcolare $(partial f)/(partial x_1) 16xy^3 + (partial f)/(partial x_3) 24x^6y^3$. Ne deduco che non ho capito cosa significa calcolare $(partial f)/(partial x_1)$
Il risultato deve venire zero...
per quanto riguarda invece $ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1(x,y),x_2(x,y),x_3(x,y))$ non capisco se devo derivare (e rispetto a cosa?) solo $x_1$, gli altri poi li lascio intatti?
Se invece non facessi così, alla fine devo moltiplicare $x_1,x_2,x_3$ per $16xy^3$?
Ragionando, ho dedotto che il secondo membro della somma è uguale a zero quindi il problema si riduce a calcolare $(partial f)/(partial x_1) 16xy^3 + (partial f)/(partial x_3) 24x^6y^3$. Ne deduco che non ho capito cosa significa calcolare $(partial f)/(partial x_1)$
Il risultato deve venire zero...
Osserva che $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1(1,1),x_2(1,1),x_3(1,1))=\frac{\partial f}{\partial x_1}(4,1,6)$ e ricorda che il gradiente di $f$ è il vettore che ha come componenti le derivate parziali di $f$.
Forse ho capito:
Essendo $ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1(1,1),x_2(1,1),x_3(1,1))=\frac{\partial f}{\partial x_1}(4,1,6) $allora $ (partial f)/(partial x_1)16xy^3 + (partial f)/(partial x_3)24x^6y^3 =1/4*16xy^3-1/6*24x^6y^3 $ Se sostituisco (1,1) ottengo zero esatto?
Essendo $ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1(1,1),x_2(1,1),x_3(1,1))=\frac{\partial f}{\partial x_1}(4,1,6) $allora $ (partial f)/(partial x_1)16xy^3 + (partial f)/(partial x_3)24x^6y^3 =1/4*16xy^3-1/6*24x^6y^3 $ Se sostituisco (1,1) ottengo zero esatto?
Si, anche se manca la derivata in $x_2$...
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