Derivate parziali
Ciao, ho la seguente funzione:
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac {x^2} {x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0)\\
0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} \)
il libro Pagani Salsa sostiene che la derivata parziale rispetto ad x nel punto (0,0) non esista mentre quella rispetto ad y, sempre nel punto (0,0), sia nulla.
Non capisco il perché. Chiaramente derivando e sostituendo (0,0) ottengo due forme indeterminate di tipo 0/0, ma anche facendo il limite del rapporto incrementale ottengo la stessa cosa. Dove sbaglio?
Grazie
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac {x^2} {x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0)\\
0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} \)
il libro Pagani Salsa sostiene che la derivata parziale rispetto ad x nel punto (0,0) non esista mentre quella rispetto ad y, sempre nel punto (0,0), sia nulla.
Non capisco il perché. Chiaramente derivando e sostituendo (0,0) ottengo due forme indeterminate di tipo 0/0, ma anche facendo il limite del rapporto incrementale ottengo la stessa cosa. Dove sbaglio?
Grazie
Risposte
La funzione \(x \mapsto f(x,0)\) non è continua in \(x=0\), dunque non può essere nemmeno derivabile in quel punto.
Grazie 
Derivata rispetto a $y$:
\[\lim_{t \to 0} \frac{f(0,0+t)-f(0,0)}{t}=\frac{0}{(0+t^2)t} \equiv 0\]
dunque è derivabile parzialmente rispetto a $y$ in $(0,0)$.
Derivata rispetto a $x$:
\[\lim_{t \to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{t^2}{t(t^2+0)} = \pm\infty\]
dunque, essendo il limite non finito, non esiste e non è derivabile parzialmente rispetto a $x$ in $(0,0)$.
\[\lim_{t \to 0} \frac{f(0,0+t)-f(0,0)}{t}=\frac{0}{(0+t^2)t} \equiv 0\]
dunque è derivabile parzialmente rispetto a $y$ in $(0,0)$.
Derivata rispetto a $x$:
\[\lim_{t \to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{t^2}{t(t^2+0)} = \pm\infty\]
dunque, essendo il limite non finito, non esiste e non è derivabile parzialmente rispetto a $x$ in $(0,0)$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo