Derivate nella direzione di \(\mathbf{v}+\mathbf{w}\)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sul Sernesi, Geometria II, definita la derivata direzionale di $F$ in $\mathbf{a}$ nella direzione di $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$ come $\mathbf{v}(F)_{\mathbf{a}}=\lim_{t\to 0}\frac{F(\mathbf{a}+t\mathbf{v})-F(\mathbf{a})}{t}$, una formula di cui non si dà dimostrazione e che non riesco a dimostrare:\[(\mathbf{v}+\mathbf{w})(F)_{\mathbf{a}}=\mathbf{v}(F)_{\mathbf{a}}+\mathbf{w}(F)_{\mathbf{a}}\]cioè\[\lim_{t\to 0}\frac{F(\mathbf{a}+t(\mathbf{v}+\mathbf{w}))-F(\mathbf{a})}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{F(\mathbf{a}+t(\mathbf{v}))-F(\mathbf{a})}{t}+\lim_{t\to 0}\frac{F(\mathbf{a}+t(\mathbf{w}))-F(\mathbf{a})}{t}\]
Sicuramente sto annegando in un bicchier d'acqua... Qualcuno sarebbe così buono da gettarmi un salvagente?
\(+\infty\) grazie a tutti!!!

[Maci86]

Prova così:
$lim_(t->0) (F(a+tv +tw) -F(a+tw))/t + (F(a+tw)-F(a))/t$

[DavideGenova1]

Grazie, Maci86! Quindi resta solo da dimostrare che $\lim_{t\to 0}\frac{F(\mathbf{a}+t\mathbf{v}+t\mathbf{w})-F(\mathbf{a}+t\mathbf{w})}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{F(\mathbf{a}+t\mathbf{v})-F(\mathbf{a})}{t}$, cosa che, intuitivamente, mi aspetterei, ma non sono sicuro come spiegare in termini rigorosi...
\(+\infty\) grazie ancora, a te e a chiunque altro voglia intervenire!!!

[gugo82]

Se \(F\) è differenziabile (assunzione che di solito si fa sempre in Geometria), allora vale la formula di rappresentazione per la derivata direzionale:
\[
\mathbf{v} (F)_a = \langle \nabla F(a),\ \mathbf{v}\rangle\; ,
\]
in cui \(\langle \cdot ,\cdot \rangle\) è il prodotto scalare standard.
La formula proposta segue immediatamente.

[DavideGenova1]

Ah, ecco... In effetti conoscevo la formula del gradiente, ma il mio libro di geometria non specifica che $F$ è differenziabile e quindi mi veniva da pensare che parlasse in generale...
\(+\infty\) grazie anche a te, Gugo!!!