Derivate negli spazi di SOBOLEV

[rinaldo901]

ciao a tutti!!!negli spazi di sobolev, come faccio a definire le derivate deboli per gli spazi W(1,p) con p diverso da 1?
io, in classe, le ho definite solo per funzioni L1(loc) (spero si capisca)..
grazie

[gugo82]

Come si faccia è spiegato su un qualsiasi testo che tratti argomenti di Analisi Superiore (ad esempio, il Brezis, l'Evans, il Dacorogna, etc...), quindi credo che anche sui libri di testo consigliati dal docente del corso che segui sia trattato questo argomento.
Se non lo trovi, puoi vedere, ad esempio, queste dispense di F. Maggi (pagg. 17 e segg.).

[rinaldo901]

si ma non capisco il collegamento tra gli spazi Lp e W(1,p)..perchè se prendo una funzione in Lp esiste la derivata debole?e come faccio a definirla?forse che L1(loc) è cotenuto in Lp per p maggiore o uguale a 1 ?

[gugo82]

"rinaldo90":si ma non capisco il collegamento tra gli spazi Lp e W(1,p)..perchè se prendo una funzione in Lp esiste la derivata debole?

Ovviamente no, non tutte le funzioni di \(L^p\) hanno la derivata debole.

"rinaldo90":e come faccio a definirla?

La definizione di derivata debole che si incontra usualmente è la seguente:

Siano \(p\in [1,\infty]\) ed \(u\in L^p(\Omega)\), con \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\).
Se esiste una funzione \(v_n \in L^p(\Omega)\) tale che:
\[
\forall \phi \in C_c^\infty (\Omega),\qquad \underbrace{\int_\Omega u\ \frac{\partial \phi}{\partial x_n} =-\int_\Omega v_n\ \phi}_{\color{red}{\text{(*)}}}
\]
allora si dice che \(v_n\) è la derivata (prima) debole di \(u\) rispetto alla \(n\)-esima variabile e si conviene di denotare tale funzione col simbolo \(u_{x_n}\) (oppure con \(\frac{\partial u}{\partial x_n}\), o come più ti piace).

N.B.: La condizione (*) "praticamente" ti sta dicendo che la funzione \(v_n\) ti consente di fare una sorta d'integrazione per parti rispetto alla variabile \(x_n\).

A questo punto puoi definire le funzioni di Sobolev d'ordine \(p\in [1,\infty]\) come segue:

Si dice che una funzione \(u\in L^p(\Omega)\) è una funzione dello spazio di Sobolev \(W^{1,p} (\Omega)\) se e solo se essa è dotata di tutte le derivate prime deboli, cioè:
\[
u\in W^{1,p}(\Omega) \ \Leftrightarrow\
\begin{cases} u\in L^p(\Omega) \\
\exists v_1,\ldots ,v_N\in L^p(\Omega):\ \forall \phi \in C_c^\infty (\Omega),\ \int_\Omega u\ \frac{\partial \phi}{\partial x_n} =-\int_\Omega v_n\ \phi\quad \text{per } n=1,\ldots ,N
\end{cases}
\]
In al caso il vettore \((v_1,\ldots ,v_N) \in L^p(\Omega ;\mathbb{R}^N)\) si chiama gradiente debole di \(u\) e si denota col simbolo \(\nabla u\) (oppure \(\operatorname{D} u\), o come più ti piace).

Detta in maniera molto rozza, le funzioni di \(W^{1,p}\) sono tutte quelle funzioni di \(L^p\) che hanno la derivata debole in \(L^p\).

"rinaldo90":forse che L1(loc) è cotenuto in Lp per p maggiore o uguale a 1 ?

Ovviamente no, e te ne puoi convincere da solo pensando a qualche esempio.

[rinaldo901]

grazie!!!sei stato chiarissimo..
ringrazio enormemente !!!