Derivate ed equazioni trigonometriche

[hamming_burst]

Salve, vorrei chiedere una piccola mano su questi esercizi banali, ma che ho ancora quei piccoli dubbi che ti bloccano.

1. Devo calcolare la derivata di $log|log (sinx)| $ è corretto che sia questa:

$1/log(sinx) * 1/sinx * cosx = cosx/((log(sinx))*sinx)$

Il dubbio è il modulo deve essere calato per due derivate separate, $-log(sinx)$ e $+log(sinx)$ cioè per quello che si ha quando c'è $|x|$ calcolando le condizioni in $x>0$ e $x<=0$;

2. Devo chiedere anche una cosa di trigonometria, la risoluzione di questa funzione:
$sinx + cosx^2 + 3 = 0$

Io ho risolto così

${(sinx + cosx^2 + 3 = 0),(sin^2x + cos^2x = 1):}$

${(sinx = - cosx^2 - 3),((- cosx^2 - 3)^2 + cos^2x = 1):}$

$cos^2x^2+8-6cosx^2+cos^2x=0$

Qua ho un dubbio non tanto di trigonometria, ma di equazioni trigonometriche, come mi comporto per questa funzione composta da $cos^2x$ e $cos^2x^2$? Visto che mi capitano sempre questi dubbi, vorrei sapere come ci si comporta in questi casi.

Ringrazio molto chi risponde

[piero_1]

"ham_burst":
2. Devo chiedere anche una cosa di trigonometria, la risoluzione di questa funzione:
$sinx + cosx^2 + 3 = 0$

non ha soluzioni, prova a scriverla così
$cosx^2 +sinx = -3$
sia il seno che il coseno sono compresi tra -1 ed 1, quindi...

[piero_1]

"ham_burst":... calcolare la derivata di $log|log (sinx)| $ è corretto che sia questa:

$1/log(sinx) * 1/sinx * cosx = cosx/((log(sinx))*sinx)$

Il dubbio è il modulo

puoi utilizzare questa

$|f(x)|^{\prime} = sgn(f(x)) * f'(x)$

essendo $sgn(f(x))=|f(x)|/(f(x))$

[alponte1]

Re: Derivate ed equazioni trigonometriche
ham_burst wrote:
... calcolare la derivata di $log|log(sin(x)|$ è corretto che sia questa:


Generalmente devi distinguere due casi, a seconda che l'argomento del modulo sia positivo o negativo.
Nel tuo caso, pero' visto che $sin(x) <=1$ $AAx$ il suo logaritmo non è mai positivo.
Quindi la funzione (nel suo dominio che è $(0

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[piero_1]

"ham_burst":derivata di $f(x)=log|log (sinx)| $

$f^{\prime}(x)=1/(|log(sinx)|)*sgn(log(sinx))*1/sinx*cosx$
$f^{\prime}(x)=1/(|log(sinx)|)*(|log(sinx)|)/(log(sinx))*1/sinx*cosx$
$f^{\prime}(x)=1/(log(sinx))*cosx/sinx$
$f^{\prime}(x)=cotgx/(log(sinx))$

il tuo risultato mi pare corretto.

[franced]

"ham_burst":

$sinx + cosx^2 + 3 = 0$

E' da intendere così:

$sinx + cos^2 x + 3 = 0$ .

Dal momento che

$cos^2 x = 1 - sin^2 x$

ottieni

$sin x + ( 1 - sin^2 x ) + 3 = 0$

e quindi

$- sin(x)^2 + sin(x) + 4 = 0$

ora puoi continuare da solo.

[piero_1]

"franced":
E' da intendere così:

$sinx + cos^2 x + 3 = 0$ .

nel senso che c'è un errore nel testo?

perchè in genere $cos^2x$ lo troviamo indicato anche così $(cosx)^2$, ma non come $cosx^2$.
In effetti Derive lo scrive così $cos(x)^2$; mentre se intende l'argomento al quadrato scrive $cos(x^2)$.
che ne pensi?

[hamming_burst]

Perfetto vi ringrazio, per la derivata ho capito, basta applicare le solite regole e ricordarsi le limitazioni.

Per l'equazione trigonometrica, in questo caso va bene, non è risolvibile, ma il mio problema non è se ha soluzione o meno. Ma è questo passaggio che mi crea problemi:

$cos^2x^2+8-6cosx^2+cos^2x=0$

come mi comporto per la risoluzione, lasciate perdere i conti in se, se l'8 da fastidio mettete 1, ma il metodo per andare avanti? specialmente $cos^2x^2$ mi crea problemi, come lo interagisco con $cos^2x$ o $cosx^2$? scusate le domande, ma questo punto è critico per la mia compresione.

[piero_1]

@ham_burst:
Io utilizzo il metodo grafico.
in pratica la tua equazione di partenza si poteva vedere anche così:

In base alle esigenze che hai i tuoi grafici possono essere più o meno precisi.