Derivate e insiemi aperti

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti,
come mai quando si enunciano teoremi sulle derivate si chiede che le funzioni di interesse siano derivabili in un aperto?

[Nietzsche610]

La considerazione più ovvia che mi viene in mente è che se consideri un insieme che sia infinito come ad esempio $RR$, non puoi definirne la relativa chiusura, quindi si richiede un aperto, cioè il chiuso meno la frontiera.

[Riccardo Desimini]

Non ho capito. Perché è necessario definirne la relativa chiusura?

[gabriella127]

Le derivate (ad es. le derivate parziali di una funzione $f:R^nrarrR$) sono definite in un aperto, quando esiste finito il limite del rapporto incrementale. Se l'insieme non è aperto si può definire la derivata sui punti interni, mentre sui punti di frontiera non è possibile in generale considerare il rapporto incrementale. E' l'analogo di quanto si ha per le funzioni da $R$ a $R$ negli estremi di un intervallo chiuso, in questo caso vengono definite non le derivate, ma la derivata destra e la derivata sinistra. Per funzioni di più variabili questo non è possibile, la derivata parziale su un punto di frontiera si definisce su un dominio $D$ (chiusura di un insieme aperto) se esiste la derivata parziale in ogni punto interno di $D$ ed è continua: allora si definisce come prolungamento per continuità della derivata parziale dall'interno del dominio, se questo prolungamento esiste.

[dissonance]

Ne abbiamo già parlato sul forum, comunque. C'erano degli interventi di Fioravante Patrone in merito, molto interessanti. Mi pare che utilizzasse la parola "spirale", prova a fare una ricerca.

PS: Cosa sia la derivata sul bordo di un dominio è una cosa non del tutto banale, specie se il bordo è un insieme insidioso, come ad esempio una spina. Ci sono i cosiddetti "teoremi di estensione" che servono a capire bene cosa succede, ma fanno parte della teoria degli spazi di Sobolev. E' roba avanzata e un po' complicata.

In generale le derivate sono una cosa che funziona bene e senza problemi solo nei punti interni a un dominio.

[Riccardo Desimini]

"dissonance":Ne abbiamo già parlato sul forum, comunque. C'erano degli interventi di Fioravante Patrone in merito, molto interessanti. Mi pare che utilizzasse la parola "spirale", prova a fare una ricerca.

Ti riferisci a questo?

"dissonance":PS: Cosa sia la derivata sul bordo di un dominio è una cosa non del tutto banale, specie se il bordo è un insieme insidioso, come ad esempio una spina. Ci sono i cosiddetti "teoremi di estensione" che servono a capire bene cosa succede, ma fanno parte della teoria degli spazi di Sobolev. E' roba avanzata e un po' complicata.

Beh, chiaramente la mia domanda ha come scopo una risposta il cui livello non superi l'analisi 1, quindi niente "teoremi di estensione".

[gugo82]

"Riccardo Desimini":Ciao a tutti,
come mai quando si enunciano teoremi sulle derivate si chiede che le funzioni di interesse siano derivabili in un aperto?

Perché la derivata negli estremi non è definibile.

Infatti, se hai \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) non puoi calcolare:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\; ,
\]
ma solo:
\[
\lim_{h\to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\; ;
\]
analogamente, in \(b\) non puoi calcolare:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(b+h)-f(b)}{h}\; ,
\]
ma solo:
\[
\lim_{h\to 0^-} \frac{f(b+h)-f(b)}{h}\; .
\]
Quindi, in \(a\) puoi calcolare solo la derivata destra, mentre in \(b\) solo la derivata sinistra.

Ma, mettiamo pure che tu definisca il concetto di derivata negli estremi scegliendo la derivata sinistra in \(b\) o quella destra in \(a\).
A questo punto, il teorema di Fermat scritto per analogia al caso di derivabilità interna, cioé:

Sia \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) derivabile in \([a,b]\) ed \(x_0\in [a,b]\).
Se \(x_0\) è di estremo relativo, allora \(f^\prime (x_0)=0\).

diventa falso... Per rendertene conto, ragiona sul grafico che segue:
[asvg]xmin=0;xmax=2; ymin=0;ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; marker="dot"; line([0,0],[1,1]);[/asvg]
Quindi il teorema di Fermat cessa di valere se il punto di estremo relativo cade nell'estremo dell'intervallo di definizione . Per salvarlo, o ne modifichi l'enunciato (inserendo come caso particolare i casi \(x_0=a\) ed \(x_0=b\)[nota]Ad esempio, l'enunciato andrebbe modificato come segue:

Sia \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) derivabile in \([a,b]\) ed \(x_0\in [a,b]\).
Se \(x_0\) è di massimo relativo, allora:
\[
f^\prime (x_0)\begin{cases} \leq 0 &\text{, se } x_0=a\\ =0 &\text{, se }a \]
mentre se \(x_0\) è un minimo i versi sono scambiati.

[/nota]) oppure lo enunci solo per punti interni.

Perciò, per motivi di semplicità, si preferisce dare la definizione di derivata solo in punti interni e scrivere i teoremi del Calcolo nella forma più semplice.

[Riccardo Desimini]

Beh, se \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \), per le definizioni di limite e di limite destro si ha
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]
quindi il problema non si pone.

In sostanza il problema nasce perché ad esempio il teorema di Fermat perde di validità se esteso all'intervallo chiuso \( [a,b] \), è così? Perché se fosse solo per la definizione, non mi sembra ci siano problemi. O sbaglio?

Il grafico non lo riesco a vedere, purtroppo.

[gugo82]

Siamo d'accordo sul limite... Però la derivata poco si presta a questi giochetti formali.

L'esempio che avevo proposto è il seguente:
\[
f:[0,1]\ni x \mapsto x \in \mathbb{R}
\]
che, evidentissimamente, ha estremi assoluti raggiunti negli estremi dell'intervallo di definizione, punti in cui la derivata (destra in \(0\) e sinistra in \(1\)) non si annulla; ergo il teorema di Fermat non vale così com'è enunciato.

[Riccardo Desimini]

Ok, ci siamo, grazie.